Question

【題目】如圖甲所示，兩個(gè)帶正電Q的點(diǎn)電荷，固定放在x軸上的A、B兩點(diǎn)處，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，．在原點(diǎn)O放置另一質(zhì)量為m、電荷為q的點(diǎn)電荷．

（1）當(dāng)限制q只能在哪些方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)（可以理解成有軌道加以約束），它在O處才是穩(wěn)定的？

（2）討論在這些方向上受擾動(dòng)之后g的運(yùn)動(dòng)情況．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

假定q是正電荷，限制它在S軸上運(yùn)動(dòng)，假定它受到約束不能離開S軸運(yùn)動(dòng)，就無需考慮它在垂直于S軸方向上的受力。設(shè)它受擾動(dòng)偏離O點(diǎn)發(fā)生微小位移（圖乙中的），并設(shè)S軸與x軸正向夾角為．題中提到的“哪些方向”，就是指的取值范圍能令q的平衡是穩(wěn)定的．

q在P點(diǎn)受兩個(gè)庫(kù)侖斥力與作用，沿S軸的合力為

①

運(yùn)用余弦定理，把、、、都力求用x和表示：

，

，

又因?yàn)?/span>，

得．

由，得

．

代入①式再整理，注意到項(xiàng)可以略去，得

②

根據(jù)②式，當(dāng)時(shí)（圖丙中打斜線的錐體區(qū)域內(nèi)），為負(fù)，即合力方向與x相反，總指向原點(diǎn)，這是回復(fù)力的基本特性，q的平衡是穩(wěn)定的．反之在的區(qū)域（圖丙中未打上斜線的區(qū)域），為正，即合力方向與x方向相同，總背離原點(diǎn)，g的平衡是不穩(wěn)定的．在平衡穩(wěn)定的范圍內(nèi)，把②式改寫為

③．

③式中的，可見q做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其固有周期跟角的具體取值有關(guān)，由下式?jīng)Q定：

討論：如果q是負(fù)電荷，根據(jù)相同的推理過程可知，結(jié)論剛好與上述相反。在的區(qū)域，平衡不穩(wěn)定；在的區(qū)域，平衡穩(wěn)定，負(fù)電荷做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其固有周期為