Question

【題目】質(zhì)量為的一系列小物塊用勁度系數(shù)為的小彈簧等間隔（間隔為）地連接成一排（如圖所示），當(dāng)左端物塊做角頻率為的左右簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，此振動(dòng)將自左至右逐漸傳播，使各物塊相繼做同頻率、同幅度的振動(dòng)，求傳播速度.設(shè).

Answer 1

【答案】

【解析】

研究第個(gè)物塊，設(shè)第個(gè)、第個(gè)、第個(gè)物塊的位移分別為、和，那么第個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)方程為

，

得. ①

設(shè)每個(gè)物塊都做振幅為、角頻率為的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但初相位各不相同，相鄰物塊的位相差為，越大落后越多，即

.

根據(jù)振動(dòng)方程，第個(gè)物塊的加速度為

.

代入①式得

.

利用三角公式將上式變?yōu)?/span>

. ③

要上式在任意時(shí)刻都成立，必須有

. ④

因題設(shè)，

所以，，即，

所以是一個(gè)很小的角，

由三角公式，

因?yàn)?/span>很小，所以，上式可變成

.

代入④式，得

，即.

相位上的落后等效于時(shí)間上的落后，則

.

于是，振動(dòng)的速度為

.

本題是對(duì)縱波傳播的一個(gè)模擬研究.

本題不僅綜合程度高，而且思維難度也很大，在解答過(guò)程中，模型的構(gòu)建、條件的應(yīng)用、過(guò)程的推導(dǎo)都是有相當(dāng)大的難度的，若沒(méi)有對(duì)波的傳播模型有深刻的認(rèn)知及扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，要完成本題的解答將是極為困難的.

在交流電路中也有一道與本題類似的競(jìng)賽題，是計(jì)算“電流波”的傳播速度的問(wèn)題，其解答思路和數(shù)學(xué)處理方法均與本題類似，但有本題為基礎(chǔ)，“電流波”的計(jì)算便不再有太大的障礙，這體現(xiàn)了解題經(jīng)驗(yàn)的作用.