Question

【題目】如圖所示，三個(gè)大小、材質(zhì)完全相同的小行星，行星（a）上有一個(gè)從表面點(diǎn)到球心的很窄的、試驗(yàn)用的、內(nèi)壁光滑的礦井；行星（b）上有一個(gè)從表面點(diǎn)到球心作為直徑的球形空腔；行星（c）因某種原因被運(yùn)走了半個(gè)行星，只剩下一個(gè)規(guī)則的半球體.

（1）在（a）（b）兩行星表面點(diǎn)處無(wú)初速地掉入一物體，試計(jì)算，在兩顆行星中，從落至球心所用的時(shí)間之比以及撞擊點(diǎn)的速度之比.

（2）在行星（c）上，若在原來(lái)球形小行星表面的重力加速度為，問(wèn)：余下半球圓形表面中心位置的重力加速度為多大？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）我們首先討論試驗(yàn)井的情況.

設(shè)小行星的密度為，半徑為，小物體的質(zhì)量為.當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處于球體內(nèi)部時(shí)，我們?cè)O(shè)想球體是由一個(gè)個(gè)均勻的球殼組成的，由于質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的作用力為零，加之試驗(yàn)井的體積可忽略不計(jì)，則不難理解，質(zhì)點(diǎn)所受的引力為以其所在位置到球心的距離為半徑的球體對(duì)它的作用力（如圖乙所示）.所以，小物體在試驗(yàn)井中下落的過(guò)程中所受到的引力大小為

.

因此，小物體在試驗(yàn)井中下落的過(guò)程中所受到的引力與到小行星中心的距離成正比，并總是指向其球心的.所以，小物體在下落的過(guò)程中受到的平均力為

.

對(duì)小物體的下落過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得

，

即.

由此可得從試驗(yàn)井中落下的小物體撞擊球心的速度為

.

另一方面，由于小物體在下落過(guò)程中的受力滿足：，且總是指向地心的，因此小物體的運(yùn)動(dòng)是一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，從開(kāi)始下落到地心的時(shí)間為個(gè)周期，即

，

式中，

所以，.

下面我們來(lái)討論第二個(gè)事件發(fā)生的情況.此時(shí)小行星內(nèi)部被開(kāi)采了八分之一，當(dāng)小物體從入口處落下時(shí)，將沿直線撞向球心，在這一過(guò)程中小物體的受力可這樣求得，設(shè)想將挖走部分重新填充，則小物體在下落的過(guò)程中受到的力為整個(gè)行星對(duì)它的引力與填充部分對(duì)它的引力之差，所以，當(dāng)小物體距球心為時(shí)，距填充球的球心為，則小物體的受力為

.

顯然，在這種情況下，小物體在下落過(guò)程中所受到的力為恒力，與到球心的距離無(wú)關(guān)，即小物體在下落過(guò)程中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為

，則

小物體的撞擊速度為.

小物體的下落時(shí)間為.

所以，這兩個(gè)小物體撞擊點(diǎn)的速度之比為

.

從點(diǎn)掉到點(diǎn)的時(shí)間之比為.

（2）先求.

由，即.

下面求半球體圓面中心處的.

把整個(gè)半球體分成個(gè)同心的、等厚的半球殼，每個(gè)半球殼的厚度為（），對(duì)于其中任意一個(gè)球殼，討論其對(duì)球心處引力場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn).

（i）與質(zhì)量的關(guān)系：正比于球殼的質(zhì)量，亦即正比于該球殼的半徑的平方（）；

（ii）與距離的關(guān)系：與距離的平方成反比，即.

由此可知，球殼對(duì)球心處的引力場(chǎng)與球殼的半徑無(wú)關(guān)，則這個(gè)等厚的球殼對(duì)球心點(diǎn)處的引力場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)是相等的.

所以，我們只需選出一個(gè)球殼作為代表，計(jì)算出它對(duì)球心點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)，再乘上，即得到半球的球心處的引力場(chǎng)強(qiáng)；或者，將所選出的半球的質(zhì)量乘以，再計(jì)算其對(duì)球心的引力場(chǎng)強(qiáng)的貢獻(xiàn)亦可.

我們選擇最外層的、半徑為的那個(gè)半球殼為代表，該球殼的質(zhì)量為，則整個(gè)半球體對(duì)球心處的引力場(chǎng)強(qiáng)等效為質(zhì)量、半徑為的球殼對(duì)其球心處產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng).

質(zhì)量為的球殼對(duì)點(diǎn)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的作用力等于處于點(diǎn)的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)半球殼的作用力，而這一作用力的大小通過(guò)壓強(qiáng)對(duì)半球體的作用情況進(jìn)行類比可知，處在點(diǎn)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)半球體的作用力等于單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)半球殼單位面積的作用力乘上.

所以，.

將與比較，易得.

本題是一道綜合程度極高的物理競(jìng)賽試題.僅從本題解答過(guò)程中涉及的方法來(lái)看，我們不難看出，其解答涉及了基本的程序法、平均思想（求平均力）、割補(bǔ)法（在空腔中填充物質(zhì)）、疊加法（球形空腔內(nèi)的受力與運(yùn)動(dòng)）、微元（半球分割為球殼）、等效（個(gè)球均用最外的球殼替代）、建模與假設(shè)（在球心處設(shè)置單位質(zhì)量的物體）、推理（作用力與無(wú)關(guān)的結(jié)論的得出）、類比（將球殼的受力與壓強(qiáng)的作用進(jìn)行比較）等等，將這些方法集中在一道試題中進(jìn)行應(yīng)用，沒(méi)有足夠的能力，要順利地完成解答幾乎是不可能的.

在中學(xué)物理競(jìng)賽的試題中，類似于上述情況的試題有很多，或同一問(wèn)題可用多種方法求解，或某一解答可能需用到多種方法.很多情況下，雖然試題的背景、涉及的知識(shí)點(diǎn)各有不同，但可能涉及的方法卻是一致的.熟練地掌握了處理問(wèn)題的各種方法，相信同學(xué)們處理問(wèn)題時(shí)便會(huì)有事半功倍的效果.

但從另一方面講，本題中每個(gè)小間涉及的模型，在我們平時(shí)的訓(xùn)練中也都出現(xiàn)過(guò)，我們也都能進(jìn)行相關(guān)的處理，而將它們集中在一起，無(wú)疑增加了對(duì)象與過(guò)程，這是增加試題難度的基本形式，而我們的解答過(guò)程，實(shí)際上是一個(gè)拆解過(guò)程，將一道綜合題拆解成若干個(gè)小題，然后再將其“串”接起來(lái)，完成問(wèn)題的解答.