Question

【題目】衛(wèi)星攜帶一探測器在半徑為（為地球半徑）的圓軌道上繞地球飛行.在點(diǎn)，衛(wèi)星上的輔助動(dòng)力裝置短暫工作后，將探測器沿運(yùn)動(dòng)方向射出（設(shè)輔助動(dòng)力裝置噴出的氣體質(zhì)量可忽略）.若探測器恰能完全脫離地球的引力，而衛(wèi)星沿新的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其近地點(diǎn)距地心的距離為（略小于3），求衛(wèi)星與探測器的質(zhì)量比.

（質(zhì)量分別為、的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為時(shí)的引力勢能為—，式中為引力常量）

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)地球質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為，探測器質(zhì)量為，當(dāng)衛(wèi)星與探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力定律和牛頓第二定律可得

，

即.

設(shè)分離后探測器速度為，探測器剛好脫離地球引力，應(yīng)滿足

，

.

設(shè)分離后衛(wèi)星速度為，由機(jī)械能守恒定律可得

.

由開普勒第二定律，有

.

聯(lián)立解得.

由分離前后動(dòng)量守恒可得

.

聯(lián)立解得.

航天飛機(jī)與衛(wèi)星的分離，衛(wèi)星與探測器的分離等問題，可能都會(huì)涉及軌道的變化.處理這類模型涉及的規(guī)律通常都比較一致，即動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒、角動(dòng)量守恒、開普勒定律等，如含有圓周運(yùn)動(dòng)，則又涉及牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，據(jù)此，一般都能得到解答問題的方程式，只是在競賽試題中，對處理過程的數(shù)學(xué)要求更高一些.