Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)， 都在曲線 (為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與， 為的中點(diǎn).

(1)求曲線的普通方程；

(2)將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù)，并判斷的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2) ，當(dāng)時(shí)， ， 的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）消去參數(shù)，從而得曲線的普通方程；
（2）根據(jù)題意寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出M的軌跡的參數(shù)方程；利用兩點(diǎn)間的距離公式得到M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，再驗(yàn)證當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．

試題解析：

(1)曲線的直角坐標(biāo)方程： .

(2)依題意有， ，因此， 的軌跡的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， )，

點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，當(dāng)時(shí)， ，

故的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).