Question

【題目】如圖甲所示，在半徑為a的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強度大小為B的均勻磁場，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者。在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為的剛性等邊三角形框架DEF，其中心O位于圓柱的軸線上。DE邊上S點處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下。發(fā)射粒子的電量皆為，質(zhì)量皆為m，但速度v有各種不同的數(shù)值。若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時速度方向垂直于被碰的邊。試問：

(1)帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時可使S點發(fā)出的粒子最終又回到S點？

(2)這些粒子中，回到S點所用的最短時間是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，n=4，5，6，… (2)

【解析】

帶電粒子（以下簡稱粒子）從S點垂直于DE邊以速度v射出后，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其圓心一定位于DE邊上，其半徑R可由求得

。 ①

(1)要求此粒子每次與的三條邊碰撞時都與邊垂直，且能回到S點，則R和v應(yīng)滿足以下條件：

(ⅰ)與邊垂直的條件。

由于碰撞時速度v與邊垂直，粒子運動軌跡圓的圓心一定位于三角形的邊上，粒子繞過三角形頂點D、E、F時的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點（即D、E、F）上。粒子從S點開始向右做圓周運動，其軌跡為一系列半徑為R的半圓，在SE邊上最后一次的碰撞點與E點的距離應(yīng)為R，所以的長度應(yīng)是R的奇數(shù)倍。粒子從FD邊繞過D點轉(zhuǎn)回到S點時，情況類似，即的長度也應(yīng)是軌道半徑的奇數(shù)倍。取，則當(dāng)的長度被奇數(shù)除所得的R也滿足要求，即

。

因此為使粒子與三角形各達發(fā)生垂直碰撞，R必須滿足下面的條件：

，n=1，2，3，…。 ②

此時，n=1，2，3，…。

為的奇數(shù)倍的條件自然滿足。只要粒子繞過E點與EF邊相碰，由對稱關(guān)系可知，以后的碰撞都能與三角形的邊垂直。

（ⅱ）粒子能繞過頂點與三角形的邊相碰的條件。

由于磁場局限于半徑為a的圓柱范圍內(nèi)，如果粒子在繞E點運動時圓軌跡與磁場邊界相交，它將在相交點處以此時的速度方向沿直線運動而不能返回。所以粒子做圓周運動的半徑R不能太大，由題圖見，必須（三角形的頂點沿圓柱半徑到磁場達界的距離時，粒子圓運動軌跡與圓柱磁場邊界相切），由給定的數(shù)據(jù)可算得

。 ③

將n=1，2，3，…，分別代入②式，得

，；

，；

，；

，。

由于，，，這些粒子在繞過三角形的頂點E時，將從磁場邊界逸出，只有的粒子能經(jīng)多次碰撞繞過E、F、D點，最終回到S點。由此結(jié)論及①②兩式可得與之相應(yīng)的速度為

，n=4，5，6，…。④

這就是由S點發(fā)出的粒子與三角形的三條邊垂直碰撞并最終又回到S點時，其速度大小必須滿足的條件。

(2)這些粒子在磁場中做圓周運動的周期為

。

將①式代入，得。 ⑤

可見在B及給定時T與v無關(guān)。粒子從S點出發(fā)最后回到S點的過程中，與三角形的達碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時間就愈少，所以應(yīng)取，如圖乙所示（圖中只畫出在邊框DE的碰撞情況），此時粒子的速度為，由圖可看出該粒子的軌跡包括個半圓和3個圓心角為300°的圓弧，所需時間為

。 ⑥

以⑤式代入得。 ⑦