Question

【題目】靜止于太空慣性系S的飛船，主體質(zhì)量為，攜帶的燃料質(zhì)量為，某時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使飛船開始沿直線方向朝前加速運(yùn)動(dòng)，已知單位時(shí)間燃燒的燃料質(zhì)量為，燃料全部生成物的噴射速度（生成物相對(duì)飛船的朝后速度）為常量u，在一直到燃料燒盡的全過程中，試求：

（1）飛船加速度的最小值和最大值。

（2）飛船末速度。

（3）初始時(shí)刻飛船發(fā)動(dòng)機(jī)提供的功率（單位時(shí)間燃料在燃燒過程中釋放的內(nèi)能，即單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)能的增量）和全過程時(shí)間內(nèi)的平均功率。

（4）發(fā)射效率（飛船最終獲得的動(dòng)能占發(fā)動(dòng)機(jī)釋放的全部燃料內(nèi)能之比）。

（5）為何值（給出1位有效數(shù)字）時(shí)，取極大值？

Answer 1

【答案】（1）， （2） （3），。

（4）（5）

【解析】

（1）t時(shí)刻飛船（主體與剩余燃料）的質(zhì)量記為M，速度記為v，經(jīng)時(shí)間燃燒掉燃枓質(zhì)量-，飛船速度增為。

由動(dòng)量守恒方程有

（略去二階小量），

得。 ①

將，代入，得

。

又，

即有，時(shí)；

，時(shí)。

（2）對(duì)①式積分得

，

得。

末速度為。

（3）在時(shí)間內(nèi)，

，

系統(tǒng)動(dòng)能增量為

（略去二階小量），

得。

將代入，得

。

時(shí)間內(nèi)燃料釋放的內(nèi)能等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量，即得t時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)提供的功率為

。

因為常量，故

，。

（4）據(jù)（2）問，飛船最終獲得的動(dòng)能為

。

釋放的全部燃料內(nèi)能為

。

所求效率便為

。

（5）將代入上式，得

。

令，得方程

。

該方程的解即對(duì)應(yīng)于的極值，解的數(shù)值計(jì)算見下表：

	1	2	3	3.5	4	4.5	6
	1	1.33	1.5	1.56	1.6	1.64	1.67
	0.69	1.10	1.39	1.50	1.61	1.70	1.79
	48%	60%	64%	64.6%	65%	64.6%	64%

由此可見，時(shí)，。