Question

【題目】有半徑分別為R和2R的兩同軸薄壁圓筒A、B，兩筒壁間夾有一半徑恰為的小圓筒。當(dāng)A、B兩筒分別以和的角速度沿相反方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小圈筒也跟著轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)小圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與A、B兩筒的接觸點(diǎn)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，如圖所示。問(wèn)：

（1）.小圓筒相對(duì)地面和相對(duì)B筒運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間各為多少？

（2）.小圓筒上與B筒的接觸點(diǎn)C此時(shí)相對(duì)地面和相對(duì)A筒的加速度各為多大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

為了下面討論問(wèn)題的方便，首先求出小圓筒的筒心O點(diǎn)相對(duì)地面的速度以及小圓筒繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的。

利用小圓筒與A、B圓筒接觸點(diǎn)無(wú)滑動(dòng)的條件可得C、D點(diǎn)的速度滿(mǎn)足：

，，

解得，。

1．小圓筒相對(duì)于地面運(yùn)動(dòng)一周需要的時(shí)間為

。

要求出小圓筒相對(duì)于B筒運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間，需求小圓筒中心相對(duì)于B筒的速度。因?yàn)樾�圓筒O點(diǎn)的絕對(duì)速度（對(duì)地）為，所以，小圓筒在B筒參考系中的牽連速度為，而且兩者的方向相同，則O相對(duì)于B筒的相對(duì)速度為

。

則小圓筒相對(duì)于B筒運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間為

。

2．先討論筒相對(duì)于地面的加速度。

在O點(diǎn)上架一個(gè)平動(dòng)參考系，在此平動(dòng)參考系中C相對(duì)于O點(diǎn)的加速度方向由C指向O，大小為。

再求平動(dòng)參考系中的O點(diǎn)對(duì)地的加速度。

由于O點(diǎn)的線(xiàn)速度為一定值，所以這個(gè)加速度的方向由O指向，大小為，所以

。

在求C點(diǎn)相對(duì)于A的加速度之前，應(yīng)先求出O相對(duì)于A筒的相對(duì)速度以及小圓筒在A筒參考系中的角速度。

易得。

另外，（相對(duì)于A簡(jiǎn)）與的求法相同，得。

所以

。