Question

【題目】在盛有密度為的液體的大容器中放入一只底面積為的小圓柱形容器，小容器底部有一根長(zhǎng)為的細(xì)管（如圖所示）.兩只容器均固定不動(dòng)。封閉細(xì)管下端后往小容器中注入密度為的染色液體，使其深度為，恰好與外面液面相平。然后打開(kāi)細(xì)管的下端，可以看到重液由細(xì)管內(nèi)流入大容器，過(guò)一段時(shí)間輕液開(kāi)始由細(xì)管進(jìn)入小容器，以后這個(gè)過(guò)程重復(fù)地進(jìn)行。如果兩種液體不會(huì)混合，也不計(jì)表面張力，試求：

（1）第一次從小容器中流出的液體的質(zhì)量；

（2）在以后的每次循環(huán)中，流進(jìn)小容器的輕液的質(zhì)量和從小容器流出的重液的質(zhì)量各是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

當(dāng)拔去細(xì)管的塞子后,我們觀察細(xì)管下端處的薄液片所受的上、下壓強(qiáng).如圖乙所示,有

上壓強(qiáng)：;

下壓強(qiáng)：.

為大氣壓強(qiáng).

由于,因此,這就導(dǎo)致管內(nèi)密度大的液體流向管外.由于管子很細(xì),且上、下壓強(qiáng)差并不是很大,在各種內(nèi)摩擦等因素的影響下,密度大的液體是緩慢流出的.當(dāng)小容器內(nèi)的液面下降,使細(xì)管端的上、下壓強(qiáng)相等時(shí),密度大的液體就不會(huì)再繼續(xù)流出.注意到小容器的截面積遠(yuǎn)小于大容器,因此大容器中的液面高度可當(dāng)作是近似不變的。

設(shè)平衡時(shí),小容器內(nèi)液面降低,在端,有

上壓強(qiáng)：;

下壓強(qiáng)：.

由,得

,

.

故第1次從小容器流出的重液質(zhì)量為

.

這種平衡是不穩(wěn)定的。

設(shè)想由于液體內(nèi)的微擾而使管內(nèi)密度大的液體向上回縮了一個(gè)小量,如圖丙所示,則有

上壓強(qiáng)：,

下壓強(qiáng)：.

(這里再次作了如下近似:細(xì)管的截面積遠(yuǎn)小于，當(dāng)細(xì)管內(nèi)密度大的液體流回到小容器中后,小容器的液面高度近似不變)

由于，故.

這表明細(xì)管內(nèi)的密度大的液體會(huì)一直回流,當(dāng)密度大的液體面回流到細(xì)管上端后,密度小的液體開(kāi)始上浮.這就使小容器內(nèi)總液面高度不斷增加,一直到細(xì)管端的上、下壓強(qiáng)相等為止,即.

此后,將會(huì)不斷循環(huán),直至小容器內(nèi)密度大的液體全部流出,沉于大容器底部,而小容器內(nèi)則換成了密度小的液體整個(gè)系統(tǒng)的重力勢(shì)能達(dá)到最小狀態(tài),處于穩(wěn)定平衡.我們計(jì)算在這種循環(huán)中任一次流入小容器的密度小的液體質(zhì)量與從容器中流出的密度大的液體質(zhì)量在每次密度小的液體流入小容器的開(kāi)始,.

設(shè)在小容器中流入高度的密度小的液體后,在細(xì)管端的上、下壓強(qiáng)相等,則

,

得,

.

而在每次密度大的液體流出小容器的開(kāi)始,總有

設(shè)小容器中密度大的液體高度減少后,在細(xì)管端的上、下壓強(qiáng)相等,即

,

得,

.

初次接觸本題時(shí),會(huì)感覺(jué)本題從題目到解答都晦澀難懂.液體平衡時(shí)對(duì)模型的理解、對(duì)象的選擇、動(dòng)態(tài)過(guò)程的分析,都對(duì)答題者有著較高的能力要求。

從本質(zhì)上看,本題是一道關(guān)于液體平衡穩(wěn)定性討論的試題,即通過(guò)對(duì)處在細(xì)管中的液體的受力分析(壓強(qiáng)分析),在微擾的情況下確定它是處于不穩(wěn)平衡狀態(tài),且這種不穩(wěn)平衡是單向的,其作用結(jié)果是讓輕液流入小容器,而重液流出小容器。

現(xiàn)有的中學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)資料中,關(guān)于液體的平衡狀態(tài)的試題極少,本題可以說(shuō)是一個(gè)孤例,但學(xué)習(xí)者不應(yīng)回避這一問(wèn)題,對(duì)于此題,亦應(yīng)悉心領(lǐng)會(huì)。