Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量為、半徑為的圓筒垂直放置在光滑水平面上，質(zhì)量為的小球從圓筒頂部沿圓筒內(nèi)壁的螺旋槽無(wú)摩擦地下滑，筒高正好等于螺距，即小球沿筒壁繞一周時(shí)正好到達(dá)筒底.開(kāi)始時(shí)，小球和圓筒均靜止不動(dòng).

（1）試分析小球下滑過(guò)程中圓筒的運(yùn)動(dòng)；

（2）試求小球相對(duì)地面參考系所走過(guò)的路程.

Answer 1

【答案】（1）小球下滑過(guò)程中圓筒的運(yùn)動(dòng)是筒心繞質(zhì)心做半徑為、角速度為的圓運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓筒繞筒心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，“”表示圓筒自轉(zhuǎn)的繞行方向與系統(tǒng)繞質(zhì)心的繞行方向相反.

（2）

【解析】

（1）以小球與圓筒作為一個(gè)系統(tǒng)，初始靜止，又不受水平外力作用，所以，系統(tǒng)質(zhì)心在水平面上的投影始終不動(dòng)，筒心和小球在水平方向上的運(yùn)動(dòng)滿足動(dòng)量守恒，即

.

圓筒和小球各自運(yùn)動(dòng)的半徑為

，，

如圖乙所示.

筒心和小球繞系統(tǒng)質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為

，

.

設(shè)圓筒繞筒心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，則由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒有

，

即.

所以，.

結(jié)論：小球下滑過(guò)程中圓筒的運(yùn)動(dòng)是筒心繞質(zhì)心做半徑為、角速度為的圓運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓筒繞筒心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，“”表示圓筒自轉(zhuǎn)的繞行方向與系統(tǒng)繞質(zhì)心的繞行方向相反.

（2）先討論小球的運(yùn)動(dòng).

小球相對(duì)于地面的角速度——絕對(duì)角速度為；圓筒相對(duì)于筒心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度——相對(duì)角速度為.設(shè)小球相對(duì)于圓筒的角速度為，則

，

所以，.

如圖丙所示，設(shè)小球最終相對(duì)于地轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則

，所以.

將小球的下滑等效為斜面模型，如圖丁所示.

由圖丁可知

.

本題是角動(dòng)量守恒問(wèn)題中較為典型的例題，題中小球?qū)ο到y(tǒng)質(zhì)心的角動(dòng)量及圓筒對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的角動(dòng)量都不難理解，但圓筒繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量是隱性的，很容易被忽略.

此外，小球下滑的軌跡是一空間螺旋線，對(duì)其軌跡進(jìn)行描述比較復(fù)雜，而選擇俯視與沿圓筒柱面展開(kāi)，則其軌跡特征清晰可見(jiàn).

將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，這是一種降維思維，在處理空間問(wèn)題中極為有效.至于在具體的操作中選擇什么方位的投影，則需要根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)臨場(chǎng)處理.