Question

【題目】已知AB是圓O的切線(xiàn)，圓的半徑為2， ，延長(zhǎng)BO到C使得BC=6，BC與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為E．

（Ⅰ）證明：AC是圓O的切線(xiàn)；
（Ⅱ）設(shè)AC與圓O的切點(diǎn)為F，求證：EF∥AO．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ ，

∴ ，

點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離為 ，

又 ，∴點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離為點(diǎn)B到直線(xiàn)AC距離的 ，

即 ，即點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離等于圓的半徑，

∴AC是圓O的切線(xiàn)．…

（Ⅱ）如圖， ，∴∠C=30°，

在△COF中，∠CFO=90°，∴∠COF=60°，

∴△OEF是等邊三角形，∴∠OEF=60°．∠BOF=120°，

又△ABO≌△AFO，∴ ，

即∠AOB=∠OEF，∴EF∥AO．…

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC的值，再求出點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離，根據(jù)比例關(guān)系可得到點(diǎn)O到直線(xiàn)AC的距離為點(diǎn)B到直線(xiàn)AC距離的,由此能證明 AC是圓O的切線(xiàn)，（2）根據(jù)正弦值可得∠C=30°，即∠COF=60°，不難推出△OEF是等邊三角形，進(jìn)而得到∠OEF=60°．∠BOF=120°，根據(jù)全等可得到∠ A O B = ∠ B O D = 60 °，即∠AOB=∠OEF，則EF∥AO．