Question

【題目】一個(gè)小球連接兩個(gè)相同的自然伸長(zhǎng)的輕質(zhì)彈性繩，彈性繩的遠(yuǎn)端都固定起來(lái)，并且兩根彈性繩都位于一條直線上（如圖所示）．現(xiàn)在把小球在垂直于彈性繩初始直線方向向上拉開(kāi)1cm，然后釋放，后讀出小球的振動(dòng)周期為2s．問(wèn)：拉開(kāi)距離為2cm時(shí)，小球振動(dòng)的周期為多少？（彈性繩自然長(zhǎng)度，重力不計(jì)）

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)小球沿垂直于彈簧所處的初始直線位置發(fā)生位移時(shí)，彈簧將由伸長(zhǎng)至l，則

彈簧的伸長(zhǎng)量為．

每根彈簧由此產(chǎn)生的彈力為．

則小球所受到的合力為．

小球受到的合力即為小球的回復(fù)力，這顯然不是線性的．小球運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為方程稱為非線性方程，它只有數(shù)值解，沒(méi)有解析解，但是，對(duì)于本問(wèn)題，我們無(wú)需求解。

方法一：量綱分析

首先，我們來(lái)確定一下由上述動(dòng)力學(xué)方程決定的小球的運(yùn)動(dòng)，其周期由哪些因素決定？

ⅰ與方程中的有關(guān)；

ⅱ與小球的振幅A有關(guān)．

而，．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，，

即，，

所以．

故由，，可得．

方法二：為了求出周期與振幅之間的關(guān)系，可以先利用機(jī)械能守恒，從中解出速度v，再由速度解出經(jīng)歷四分之一周期的時(shí)間．

當(dāng)小球的位移為x時(shí)，由前面的分析可知，每根彈簧的伸長(zhǎng)量為，每根彈簧的彈性勢(shì)能為．

由機(jī)械能守恒可得

，

即，

所以，

即，

即．

顯然，

故有．