Question

【題目】導(dǎo)體質(zhì)量為、長為，兩端借助兩根同樣的導(dǎo)電輕彈簧懸掛在電介體上，彈簧總勁度系數(shù)為.電容為 的電容器接在兩彈簧上端.整個結(jié)構(gòu)掛在垂直結(jié)構(gòu)平面、磁感強度為的均勻磁場中，如圖所示.讓導(dǎo)體在豎直面上離開平衡位置再放下.試確定導(dǎo)體在豎直面上將怎樣運動？導(dǎo)體電阻、自感和電容不計.

Answer 1

【答案】取x軸為豎直向下方向，坐標(biāo)原點為桿的平衡位置。振幅A等于桿初始時刻的位移，于是任何時刻有

【解析】

取軸為豎直向下方向，坐標(biāo)原點為桿的平衡位置（圖示）.設(shè)在這個位置每根彈簧的增長量均為，根據(jù)牛頓第二運動定律有.

當(dāng)桿離開平衡位置移動時，它開始做加速運動，其加速度指向平衡位置.同時桿中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，電路中出現(xiàn)電流，電容器開始充電.由于導(dǎo)電彈簧電阻為零，電容器上電壓等于并且電容器上電量等于.因此，在任何時刻電路中電流為

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磁場中帶電桿受到安培力作用，即

安培力什么方向？為了確定起見，設(shè)磁場方向垂直紙面向外，當(dāng)桿豎直向上運動時桿中感生電動勢方向從左向右.在桿位于平衡位置下方情況下，桿中電流方向與感應(yīng)電動勢方向一致，于是電容器充電.同時力向下，即與桿加速度的方向相反.在桿出現(xiàn)在平衡位置上方情況下，感生電動勢方向保持不變，但是桿的速度以及感生電動勢減小.這時電容器放電，桿中電流改變方向，因而力也改變方向，現(xiàn)在它的方向向上，即又與加速度方向相反.可見

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根據(jù)牛頓第二定律列出桿的運動方程：

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整理得：.

這是簡諧振動方程，其振動頻率為

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振幅等于桿初始時刻的位移，于是任何時刻有.

在磁場中做切割磁場線運動的金屬桿與電容構(gòu)成回路的模型有很多種，本題只是其中的代表.

本類試題不論怎樣構(gòu)造模型，其共性特征是，電容器的充放電電流引起的安培力與金屬桿運動的加速度之間滿足.這一關(guān)系的臨場推導(dǎo)是這類試題的主要障礙，且試題多以此為問題的切入點，進而討論相關(guān)的問題.