【題目】如圖, 是邊長為2的正方形的邊的中點(diǎn),將與分別沿、折起,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,記為點(diǎn),得到三棱錐.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析: (Ⅰ)由, ,可得平面,又在平面內(nèi),即可證得面面垂直;(Ⅱ)解:設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,根據(jù)三棱錐等體積可得
,根據(jù)體積公式代入即可求得.
試題解析:(Ⅰ)證明:∵,∴, .
∵交于點(diǎn), , 在平面內(nèi),∴平面,
∵在平面內(nèi),∴平面平面.
(Ⅱ)解:設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
依題意可知,三角形是底邊長為2,高為2的三角形,
所以其面積為.
由(Ⅰ)知平面,易知是邊長為2的等邊三角形,其面積為, ,
所以,
∵,∴,∴.
點(diǎn)睛:本題考查面面垂直的判定以及等體積法求點(diǎn)線距,屬于中檔題目. 兩平面垂直的判定有兩種方法:(1)兩個平面所成的二面角是直角;(2)一個平面經(jīng)過另一平面的垂線.掌握基本的判定和性質(zhì)定理外還應(yīng)理解線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化思想,逐步學(xué)會綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決問題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,墻上有一壁畫,最高點(diǎn)A離地面4米,最低點(diǎn)B離地面2米.觀察者從距離墻x(x>1)米,離地面高a(1≤a≤2)米的C處觀賞該壁畫,設(shè)觀賞視角∠ACB=θ.
(1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角θ最大?
(2)若tanθ= ,當(dāng)a變化時,求x的取值范圍.
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【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD,然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當(dāng)a=90時,求紙盒側(cè)面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
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【題目】學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐,每星期一有A、B兩種菜可供選擇.調(diào)查表明,凡是在這星期一選A種菜的,下星期一會有20%改選B種菜;而選B種菜的,下星期一會有30%改選A菜.用an , bn分別表示在第n個星期選A的人數(shù)和選B的人數(shù),若a1=300,則a20=( )
A.260
B.280
C.300
D.320
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【題目】已知是等差數(shù)列,滿足,數(shù)列滿足,且為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
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【題目】已知過點(diǎn)的動直線與拋物線:相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時,.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過原點(diǎn)的動直線與圓相交于不同的兩點(diǎn).
(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)是否存在實數(shù),使得直線與曲線只有一個交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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