Question

如圖1，已知直線y=2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰Rt△ABC 
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線AC的關(guān)系式．
（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點(diǎn)D，連接AD，若AD=AC，求證：BE=DE．
（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于M，P（-

5

2

，k）是線段BC上一點(diǎn)，在線段BM上是否存在一點(diǎn)N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1，作CQ⊥x軸，垂足為Q，利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ABO≌△BCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求OQ，CQ的長(zhǎng)，確定C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）同（1）的方法證明△BCH≌△BDF，再根據(jù)線段的相等關(guān)系證明△BOE≌△DGE，得出結(jié)論；
（3）依題意確定P點(diǎn)坐標(biāo)，可知△BPN中BN變上的高，再由S_△PBN=

1

2

S_△BCM，求BN，進(jìn)而得出ON．

解答：解：（1）如圖1，作CQ⊥x軸，垂足為Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（-3，1），
由A（0，2），C（-3，1）可知，直線AC：y=

1

3

x+2；

（2）如圖2，作CH⊥x軸于H，DF⊥x軸于F，DG⊥y軸于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；

（3）如圖3，直線BC：y=-

1

2

x-

1

2

，P（-

5

2

，k）是線段BC上一點(diǎn)，
∴P（-

5

2

，

3

4

），
由y=

1

3

x+2知M（-6，0），
∴BM=5，則S_△BCM=

5

2

．
假設(shè)存在點(diǎn)N使直線PN平分△BCM的面積，
則

1

2

BN•

3

4

=

1

2

×

5

2

，
∴BN=

10

3

，ON=

13

3

，
∵BN＜BM，
∴點(diǎn)N在線段BM上，
∴N（-

13

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的特殊性證明全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解．