Question

1．液壓千斤頂是利用帕斯卡發(fā)現(xiàn)的“密閉容器內(nèi)的液體能夠把施加于密閉液體所受到的壓強(qiáng)大小不變的向各個(gè)方向傳遞”的原理制成的．圖為一小型千斤頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖．已知大活塞A的直徑為D₁，小活塞B的直徑為D₂，手柄的長(zhǎng)度OC=L，小活塞與手柄的連接點(diǎn)D到轉(zhuǎn)軸O的距離OD=L₂．現(xiàn)用此千斤頂使質(zhì)量為m的重物升高了h．
（1）若此千斤頂?shù)男�率為η，在這一過(guò)程中人做的功為多少？
（2）若此千斤頂?shù)男�率�?00%，當(dāng)重物上升時(shí)，人對(duì)手柄的作用力F至少要多大？

Answer 1

分析 （1）利用W=Gh=mgh求出將重物托起h需要做的功，設(shè)人對(duì)手柄做的功為W₂，則千斤頂?shù)男�率為�?$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
據(jù)此求總功（人做的功）；
（2）設(shè)大活塞的面積為S₁，小活塞的面積為S₂，利用帕斯卡原理求作用在小活塞上的壓力；動(dòng)力和阻力都與杠桿垂直時(shí)，手對(duì)杠桿的壓力最小．利用杠桿平衡條件可求人對(duì)手柄的作用力．

解答 解：
（1）將重物托起h需要做的有用功W₁=mgh，
設(shè)人對(duì)手柄做的功為W₂，則千斤頂?shù)男�率為�?$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$，
所以人做的功：W₂=$\frac{mgh}{η}$；
（2）設(shè)大活塞的面積為S₁，小活塞的面積為S₂，作用在小活塞上的壓力為F₁，
當(dāng)千斤頂?shù)男�率�?00%時(shí)，
 $\frac{mg}{{S}_{1}}$=$\frac{{F}_{1}}{{S}_{2}}$，
而$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{π（\frac{{D}_{1}}{2}）^{2}}{π（\frac{{D}_{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{（{D}_{1}）^{2}}{（{D}_{2}）^{2}}$，
所以作用在小活塞上的壓力：F₁=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$mg=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg，
F₁和F都與杠桿垂直時(shí)，手對(duì)杠桿的壓力最�。�
根據(jù)杠桿平衡條件有：F₁×OD=F×OC，
即F₁L₂=FL，
解得：
F=$\frac{{F}_{1}{L}_{2}}{L}$=$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．
答：（1）若此千斤頂?shù)男�率為η，在這一過(guò)程中人做的功為$\frac{mgh}{η}$；
（2）若此千斤頂?shù)男�率�?00%，當(dāng)重物上升時(shí)，人對(duì)手柄的作用力F至少為$\frac{{D}_{2}^{2}}{{D}_{1}^{2}}$mg×$\frac{{L}_{2}}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有用功、總功的計(jì)算、杠桿平衡條件和帕斯卡原理的應(yīng)用，知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)，屬于難題！