Question

如圖：AB為一根均勻輕質(zhì)桿，桿的中點(diǎn)O點(diǎn)懸掛在天花板上，在桿的A端懸掛有一端開口、粗細(xì)均勻、重2N的薄壁玻璃管，管長(zhǎng)L=40cm，管底面積S=20cm²，管中裝滿水后倒扣在裝有水深h=10cm的水槽中，玻璃管管口剛好被水面淹沒，在杠桿的B端通過滑輪組用輕質(zhì)細(xì)繩相連，動(dòng)滑輪下端掛有一個(gè)鉤碼，在滑動(dòng)組的另一端細(xì)繩上掛有一體積為10³cm³的實(shí)心均勻圓球，當(dāng)圓球體積的一半浸沒在水中時(shí)，杠桿恰好在水平位置平衡．已知大氣壓強(qiáng)P₀=10⁵Pa，動(dòng)滑輪重1N，細(xì)繩的重量和細(xì)繩與滑輪間的摩擦忽略不計(jì)，g=10N/kg． 求：
（1）鉤碼重多少牛頓？
（2）圓球的密度是多少kg/m³？
（3）假如大氣壓強(qiáng)逐漸減小到零的過程中，杠桿還能平衡嗎？若不平衡，怎樣傾斜，請(qǐng)分析說明．

Answer 1

分析：（1）鉤碼的重力可以利用作用在杠桿B端的拉力結(jié)合動(dòng)滑輪的重力，利用動(dòng)滑輪的省力公式：F_B=

1

n

（G_動(dòng)+G_鉤）來求得．而作用在B端的拉力可以利用杠桿的平衡條件去求得．
因此首先要知道作用在杠桿A端的力，這個(gè)力是由玻璃管提供的，從玻璃管現(xiàn)在所處的狀態(tài)入手，求出作用在A端的力，從而可以解決此題．
（2）告訴了圓球的體積，要求圓球的密度，因此首先要求得圓球的重力．從圓球?qū)��?dòng)滑輪的拉力來求得圓球的重力．
（3）大氣壓的變化，決定了玻璃管受到的力的變化，只要玻璃管還處于平衡狀態(tài)，杠桿就保持平衡，因此從玻璃管受力的情況的平衡方程，結(jié)合大氣壓的變化入手分析即可解決此題．

解答：解：（1）玻璃管A處于平衡狀態(tài)，所以受到平衡力的作用，即向下的大氣壓力、玻璃管的重力與杠桿對(duì)A向上的拉力、大氣壓通過管內(nèi)水柱對(duì)其向上的壓力相互平衡；
由此可得：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，即：10⁵Pa×2×10^-3m²-2N-（10⁵Pa×2×10^-3m²-10³kg/m³×10N/kg×0.4m×2×10^-3m²）=F_A．
求得：F_A=10N，
又因?yàn)楦軛U處于平衡狀態(tài)，所以F_A?OA=F_B?OB，又OA=OB
所以F_B=F_A=10N，
根據(jù)動(dòng)滑輪的省力公式：F_B=

1

n

（G_動(dòng)+G_鉤）
變形得：G_鉤=2F_B-G_動(dòng)=2×10N-1N=19N．
（2）由圓球處于平衡狀態(tài)得：G_球=F_浮+F_繩
由于是同一根繩子，所以F_繩=F_B=10N，
即：ρ_球gV_球=ρ_水g

V球

2

+F_B；
代入數(shù)據(jù)：ρ_球×10N/kg×10^-3m³=10³kg/m³×10N/kg×0.5×10^-3m³+10N，
求得：ρ_球=1.5×10³kg/m³．
（3）玻璃管處于平衡狀態(tài)時(shí)：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，
化簡(jiǎn)得：G_玻+ρ_水gLS=F_A，
其中的ρ_水gLS是由于大氣壓造成的，因此：
當(dāng)①當(dāng)P₀≥ρ_水gL時(shí)，F(xiàn)_A=G_玻+ρ_水gLS=10N，杠桿仍平衡．    
當(dāng)②當(dāng)P₀＜ρ_水gL時(shí)，F(xiàn)_A=G_玻+P₀S＜10N，杠桿失去平衡，B端下降．
答：（1）鉤碼重19N；（2）圓球的密度是1.5×10³kg/m³．（3）不再平衡，將向B端傾斜．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及了：浮力的計(jì)算、杠桿的平衡條件、動(dòng)滑輪的省力情況、大氣壓強(qiáng)、壓力的計(jì)算等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．過程復(fù)雜，要求學(xué)生要有較強(qiáng)的邏輯思維能力．
解決此題時(shí)，可以從未知量入手分析，直到已知量為止．
能夠根據(jù)物體處于平衡狀態(tài)，得到力的方程是解決此題的關(guān)鍵．