Question

現(xiàn)有下列實驗器材：物理天平一臺，盛有水的燒杯一個，銅管材料一小塊，蠟（蠟芯材料）一大塊和細線若干．某學生在沒有測量長度的器材的情況下，利用所給儀器，按以下實驗步驟測量一根己知長度的銅管內徑．已知銅管長度L=8.12 厘米，水的密度ρ₀=1.0克/厘米³．請在橫線處填寫相應的表達式或數(shù)據(jù)：
①調節(jié)物理天平；
②把小銅塊分別置于空氣中、水中稱量，得出平衡時砝碼的質量分別為 m₁、m₂；則小銅塊密度計算表達式：ρ₁=

 

；
③把小蠟塊在空氣中稱量，平衡時砝碼的質量為 m₃；把小銅塊與小蠟塊捆在一起浸沒于水中稱量，平衡時砝碼的質量為 m₄．則蠟的密度計算表達式：ρ₂=

 

；
④將銅管中塞滿蠟；
⑤把含有蠟芯的銅管分別置于空氣中和水中稱量，平衡時砝碼的質量分別為 m、m′．則可求出銅管內徑 d；
下表為某次測量得到的數(shù)據(jù)：

物理量	m1	m2	m3	m4	m	m′
平均值	6.15	5.41	4.30	4.95	17.20	13.19

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可求解出的銅管內徑d的值為：d=

 

．

Answer 1

分析：②把小銅塊分別置于空氣中、水中稱量，得出平衡時砝碼的質量分別為 m₁、m₂；求出小銅塊受到水的浮力，利用阿基米德原理求小銅塊排開水的體積（小銅塊的體積），再利用密度公式求銅的密度；
③把小蠟塊在空氣中稱量，平衡時砝碼的質量為m₃；把小銅塊與小蠟塊捆在一起浸沒于水中稱量，平衡時砝碼的質量為m₄．求出小銅塊和蠟塊受到水的浮力，利用阿基米德原理求小銅塊和蠟塊排開水的體積（小銅塊和蠟塊的體積），進而求出蠟塊的體積，再利用密度公式求蠟塊的密度；
⑤把含有蠟芯的銅管分別置于空氣中和水中稱量，平衡時砝碼的質量分別為 m、m′．求出含有蠟芯的銅管受到水的浮力，利用阿基米德原理求含有蠟芯的銅管的總體積；而含有蠟芯的銅管的總質量m=m_銅+m_蠟，就此列出關于蠟芯直徑（銅管內徑）d的方程，代入表格數(shù)據(jù)可求d的大小．

解答：解：
②把小銅塊分別置于空氣中、水中稱量，得出平衡時砝碼的質量分別為 m₁、m₂；受到水的浮力F_浮=（m₁-m₂）g，
由F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水Vg得銅塊的體積為V_銅=

m1-m2

ρ0

小銅塊密度：ρ₁=

m1

V銅

=

m1

m1-m2 ρ0

=

m1

m1-m2

ρ₀；
③把小蠟塊在空氣中稱量，平衡時砝碼的質量為 m₃；
把小銅塊與小蠟塊捆在一起浸沒于水中稱量，平衡時砝碼的質量為 m₄．此時受到水的浮力F_浮′=（m₁+m₃-m₄）g，
由F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水Vg得銅塊和蠟塊的總體積為V=

m1+m3-m4

ρ0

蠟塊的體積：
V_蠟=V-V_銅=

m1+m3-m4

ρ0

-

m1-m2

ρ0

=

m2+m3-m4

ρ0

蠟塊密度：ρ₂=

m3

V蠟

=

m3

m2+m3-m4 ρ0

=

m3

m2+m3-m4

ρ₀；
④將銅管中塞滿蠟；
⑤把含有蠟芯的銅管分別置于空氣中和水中稱量，平衡時砝碼的質量分別為 m、m′．此時受到水的浮力F_浮′=（m-m′）g，
由F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水Vg得含有蠟芯的銅管的總體積為V=

m-m′

ρ0

含有蠟芯的銅管的總質量：
m=m_銅+m_蠟，
即：m=ρ₁V_銅+ρ₂V_蠟=ρ₁（V-V_蠟）+ρ₂V_蠟，-------①
設銅管的內徑（蠟芯的直徑）為d，則蠟芯的體積：
V_蠟=π（

d

2

）²L，
代入①得：
m=

m1

m1-m2

ρ₀[（

m-m′

ρ0

-π（

d

2

）²L]+

m3

m2+m3-m4

ρ₀×π（

d

2

）²L
將表中數(shù)據(jù)代入解得：
d²=0.34cm2，
d≈0.58cm．
故答案為：②

m1

m1-m2

ρ₀；③

m3

m2+m3-m4

ρ₀；⑤0.58cm．

點評：本題考查了學生對密度公式的掌握和運用，因計算量比較復雜，要細心，靈活運用所學知識，屬于難題！