Question

5．如圖所示，底面積為300cm²的圓柱形水槽內(nèi)盛有適量的水，把質(zhì)量為1kg、高為12cm、橫截面積為100cm²的柱形物塊，用彈簧測(cè)力計(jì)懸掛后讓其浸入水中的深度為2cm，彈簧測(cè)力計(jì)的測(cè)量范圍為0～10N，在刻度尺上從0從10N之間的長(zhǎng)度為8cm，取g=10N/kg，試求：
（1）此時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)；
（2）向水槽內(nèi)至少注入多少千克水，彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)恰好為零？（柱形水槽容積足夠大，以確保水不溢出）

Answer 1

分析 （1）計(jì)算出物體浸在水中的體積，根據(jù)F_浮=ρ_液gV_排計(jì)算出物體所受的浮力；由F=G-F計(jì)算出彈簧秤的示數(shù)；
（2）當(dāng)彈簧秤的示數(shù)為零時(shí)，物體所受的浮力與重力恰好相等，從而可計(jì)算出此時(shí)物體浸在水中的體積及深度，從而可計(jì)算出應(yīng)添加水的體積，添加水的深度應(yīng)等于此時(shí)物塊在水中的深度-原來(lái)在水中的深度+物塊向上移動(dòng)的距離，再由ρ=$\frac{m}{V}$計(jì)算加入水的質(zhì)量．

解答 解：
（1）物體的重力：G=mg=1kg×10N/kg=10N；
物體在水中受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×100×2×10^-6m³=2N；
物體受到的拉力、浮力與物體的重力平衡，
所以彈簧秤的示數(shù)（即拉力）：F=G-F_浮=10N-2N=8N；
（2）當(dāng)物體所受的浮力與重力相等時(shí)，彈簧秤的示數(shù)為零，即此時(shí)：F_浮′=G=10N；
由阿基米德原理可得：
V_排′=$\frac{{F}_{浮}′}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{10N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=10^-3m³；
則物體的下底面與水面的距離為：
h=$\frac{{V}_{排}′}{{S}_{物}}$=$\frac{1{0}^{-3}{m}^{3}}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.1m；
所以物體在水中的深度增加了△h=0.1m-0.02m=0.08m；
在刻度尺上從0從10N之間的長(zhǎng)度為8cm，所以彈簧縮短1cm受到的力：$\frac{10N}{8cm}$=$\frac{5}{4}N/cm$，
原來(lái)測(cè)力計(jì)的示數(shù)為8N，現(xiàn)在為0N，測(cè)力計(jì)示數(shù)減小了8N，
所以物體上升的高度（彈簧縮短的長(zhǎng)度）：h′=$\frac{8N}{\frac{5}{4}N/cm}$=6.4cm=0.064m，
所以水面上升的高度為：h_水=0.08m+0.064m=0.144m，
所以，加入水的體積：
V_水=S_容h_水-S_物×△h=300×10^-4m²×0.144m-100×10^-4m²×0.08m=3.52×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，加入水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×3.52×10^-3m³=3.52kg．
答：（1）此時(shí)彈簧秤的示數(shù)為8N；
（2）向水槽內(nèi)至少注入3.52kg的水彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)恰好為零．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了阿基米德原理公式的靈活運(yùn)用，這是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)，此題的難點(diǎn)在于，當(dāng)向容器中加水的同時(shí)，彈簧秤的示數(shù)減小，物體也會(huì)上升，所以增加的深度加物體上升的高度，才是加入水的實(shí)際深度．