Question

2．如圖所示，薄壁輕質(zhì)圓柱形容器甲和正方體乙置于水平地面上．容器甲高度為0.5米，底面積為1×10^-2米²，里面盛有0.2米深的水．正方體乙的質(zhì)量為16千克，體積為8×10^-3米³．若將一底面積為5×10^-3米²的物體A分別輕輕放入容器甲的水中、放在正方體乙上表面的中央時(shí)，使水對(duì)容器甲底部壓強(qiáng)的變化量與正方體乙對(duì)水平地面壓強(qiáng)的變化量相等；求物塊A的密度ρ_A范圍及對(duì)應(yīng)的體積V_A應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 先求得物塊放入A容器后，水面上升的最大高度，根據(jù)液體壓強(qiáng)公式和固體的壓強(qiáng)公式分別表示出A放入甲和乙上壓強(qiáng)的變化，由變化的壓強(qiáng)相等的特點(diǎn)進(jìn)行分析．應(yīng)該分浸沒(méi)和不浸沒(méi)兩種情況討論．

解答 解：
已知A的底面積為5×10^-3m²，容器甲的底面積為1×10^-2m²，里面盛有0.2米深的水．
容器內(nèi)水的體積為：
V_水=S_甲h_水=1×10^-2m²×0.2m=2×10^-3m³；
若A足夠大（足夠高），水面能夠上升到的最大高度為：
h_水最大=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{甲}-{S}_{A}}$=$\frac{2×1{0}^{-3}{m}^{3}}{1×1{0}^{-2}{m}^{2}-5×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=0.4m；
由題意知，V_乙=8×10^-3m³，所以乙的邊長(zhǎng)為0.2m，則S_乙=0.04m²，
甲、乙的底面積之比：$\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1×1{0}^{-2}{m}^{2}}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
已知水對(duì)容器甲底部壓強(qiáng)的變化量與正方體乙對(duì)水平地面壓強(qiáng)的變化量相等，
則由F=pS可得壓力變化量之比：$\frac{△{F}_{甲}}{△{F}_{乙}}$=$\frac{△{p}_{甲}{S}_{甲}}{△{p}_{乙}{S}_{乙}}=\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$，而△F_乙=G_A，
所以△F_甲=$\frac{1}{4}$△F_乙=$\frac{1}{4}$G_A=F_A浮，則A物體浸在水中時(shí)浮力小于重力；
故A物體在水中一定是下沉的，即ρ_A一定大于ρ_水；
①當(dāng)A全部浸沒(méi)時(shí)，水上升的高度△h=$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$，
則：△p_甲=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$，
△p_乙=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{S}_{乙}}$，
由題意知：ρ_水g$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{S}_{乙}}$
前面已經(jīng)推出$\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$，所以ρ_A=4ρ_水=4×10³kg/m³；
又因?yàn)樗�能夠到達(dá)的最大高度為0.4m，則浸沒(méi)時(shí)物體的最大高度為0.4m，
所以V_A≤S_Ah_水最大=5×10^-3m²×0.4m=2×10^-3m³；
②當(dāng)A沒(méi)有全部浸沒(méi)時(shí)，△h_水=0.4m-0.2m=0.2m；
V_A＞S_A×0.4m=5×10^-3m²×0.4m=2×10^-3m³；
由題意知：ρ_水g△h_水=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}}$，
解得m_A=8kg，而V_A＞2×10^-3m³ ，
所以ρ_A＜4ρ_水，即ρ_A＜4×10³kg/m³，且要大于1.0×10³kg/m³．
答：物塊A的密度ρ_A范圍及對(duì)應(yīng)的體積V_A應(yīng)滿足的條件：
當(dāng)A物體浸沒(méi)時(shí)，ρ_A=4×10³kg/m³ ，V_A≤2×10^-3 m³ ，
當(dāng)A物體不浸沒(méi)時(shí)，1×10³kg/m³＜ρ_A＜4×10³kg/m³，V_A＞2×10^-3m³ ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了壓強(qiáng)公式的應(yīng)用，本題需根據(jù)液體壓強(qiáng)公式列出方程求解，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．