Question

（2012?貴港一模）小明的父親為了解決全家人夏季淋浴問題，想自己動手制作一個太陽能淋浴器．他買來了一個圓柱形金屬桶，一個壓力傳感開關，兩個圓柱體以及細線若干．初步設計如圖所示，其中A、B兩個圓柱體通過細繩與壓力傳感開關相連．已知：圓柱形金屬桶的底面積S_l=0.5m²，高h₁=50cm；壓力傳感開關的作用是當它受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水，當拉力等于4N時斷開，水泵停止向桶內注水；兩個圓柱體的底面積S₂=40cm²，高h₂=12cm，每個圓柱體重G=6N．要求當水桶內儲水量達200L時停止注水，當儲水量剩余40L時開始注水．請你幫助小明的父親在其初步設計的基礎上，求出滿足上述要求的兩段細線的長度．（壓力傳感開關與金屬桶間的距離、細繩質量與體積、計算儲水量時圓柱體排水體積忽略不計）

Answer 1

分析：分兩種情況分析：
（1）壓力傳感開關受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水．由于壓力傳感開關受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，
進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度，此時桶內水面處于右圖位置2處，桶內水的體積V₃=40L，
根據(jù)h₃=

V3

S1

得出水面2與桶底3之間的深度，可求圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉；
（2）壓力傳感開關受到豎直向下的拉力達到4N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水．由于壓力傳感開關受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，
進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度、圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h₅，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h₈，此時桶內水面處于如圖的位置1處，桶內水的容積為V₄=200L，根據(jù)h₄=

V4

S1

得出水面1與桶底3之間的深度，進而求出圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉，水面1到桶底6之間的長度h₆，
最后求出，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度L₁=h₆-h₅，也就是圖中5與9之間的高度；
圓柱體A、B之間的繩子長度L₂=h₄-h_浸2-h₇．

解答：解：
（1）壓力傳感開關受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水．由于壓力傳感開關受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，圓柱體受到的浮力：F_浮1=2G-F₁=2×6N-10N=2N，
圓柱體排開水的體積：V_排1=

F浮1

ρ水g

=

2N

1×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³=200cm³，
圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：
h_浸1=

V排1

S2

=

2×10-4m3

40×10-4m2

=0.05m=5cm，
此時桶內水面處于右圖位置2處，桶內水的體積V₃=40L，
根據(jù)h₃=

V3

S1

=

40×10-3m3

0.5m2

=0.08m=8cm得出水面2與桶底3之間的深度為8cm，
圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
（2）壓力傳感開關受到豎直向下的拉力達到4N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內注水．由于壓力傳感開關受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，
圓柱體受到的浮力：F_浮2=2G-F₂=2×6N-4N=8N，
圓柱體排開水的體積：V_排2=

F浮2

ρ水g

=

8N

1×103kg/m3×10N/kg

=8×10^-4m³=800cm³，
圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：
h_浸2=

V排2

S2

=

800cm3

40cm2

=20cm，
圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h₅=2h₂-h_浸2=2×12cm-20cm=4cm，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h₈=h₂-h₅=12cm-4cm=8cm，此時桶內水面處于如圖的位置1處，桶內水的容積為V₄=200L，根據(jù)h₄=

V4

S1

=

200×10-3m3

0.5m2

=0.4m=40cm得出水面1與桶底3之間的深度為40cm，
圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
水面1到桶底6之間的長度h₆=h₁-h₄=50cm-40cm=10cm，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度：
L₁=h₆-h₅=10cm-4cm=6cm，也就是圖中5與9之間的高度；
圓柱體A、B之間的繩子長度：L₂=h₄-h_浸2-h₇=40cm-20cm-3cm=17cm．
答：兩段細線的長度分別為6cm、17cm．

點評：本題為力學綜合題，考查了學生對阿基米德原理、力的合成的掌握和運用，畫出兩種情況下的示意圖幫助解題、理清思路是關鍵，是一道復雜的競賽題！