Question

17．今年冬天，善于思考的小超在仙女山玩耍時(shí)，發(fā)現(xiàn)一塊夾著礦石的冰塊，其中冰與礦石的體積之比為50：1，小超將夾著礦石的冰塊放入底面積為50cm²，盛有深度為36cm的鹽水的圓柱形容器中，冰塊處于漂浮狀態(tài)，如圖甲所示，小超測得此時(shí)冰塊浸入鹽水中的體積為380cm³．過一段時(shí)間，冰塊完全熔化（假設(shè)鹽水和水混合后體積不變），礦石沉入杯底，如圖乙所示，水位上升了1.6cm，（已知鹽水的密度為1.25g/cm³，冰的密度為0.9g/cm³）求：
（1）這塊夾著礦石的冰塊漂浮時(shí)受到的浮力；
（2）這塊夾著礦石的冰塊漂浮時(shí)鹽水對容器底的壓強(qiáng)；
（3）礦石的密度；
（4）礦石對容器底的壓力．

Answer 1

分析 （1）已知鹽水的密度、冰塊排開鹽水的體積，根據(jù)阿基米德原理可計(jì)算冰塊漂浮時(shí)受到的浮力．
（2）根據(jù)△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{容器}}$計(jì)算液面上升的高度，已知原來鹽水的深度，可得到現(xiàn)在鹽水的深度，利用液體壓強(qiáng)公式計(jì)算冰塊漂浮時(shí)鹽水對容器底的壓強(qiáng)．
（3）冰熔化為水，質(zhì)量不變，利用密度公式和題中條件表示出冰熔化為水的體積；將乙圖與最初沒有放入冰塊相比，可得到增加的體積，而增加的體積等于礦石的體積與冰熔化為水的體積之和，據(jù)此列出方程組進(jìn)行解答；已經(jīng)求得石塊的體積，根據(jù)V_冰：V_石=50：1可得冰塊中冰的體積，利用密度公式可求出冰塊中冰的質(zhì)量；再利用漂浮條件求出冰和礦石的總質(zhì)量，從而可以求出石塊的質(zhì)量；利用密度公式可求出石塊的密度．
（4）鹽水和水混合后體積不變，但鹽水的密度減小，利用已經(jīng)求出的物理量計(jì)算此時(shí)鹽水的密度；利用阿基米德原理計(jì)算石塊沉底時(shí)受到的浮力，根據(jù)G=mg計(jì)算石塊的重力，礦石對容器底的壓力等于其重力與浮力之差，故可求解．

解答 解：（1）這塊夾著礦石的冰塊漂浮時(shí)受到的浮力：
F_浮=ρ_鹽水gV_排=1.25×10³kg/m³×10N/kg×380×10^-6m³=4.75N；
（2）由題意可知，容器中沒有放入冰塊時(shí)，鹽水的深度h₀=36cm，
夾著礦石的冰塊漂浮在鹽水中時(shí)，液面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{容器}}$=$\frac{380c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=7.6cm，
所以，此時(shí)鹽水的深度：h₁=h₀+△h=36cm+7.6cm=43.6cm=0.436m，
則冰塊漂浮時(shí)鹽水對容器底的壓強(qiáng)：
p=ρ_鹽水gh₁=1.25×10³kg/m³×10N/kg×0.436m=5450Pa；
（3）已知V_冰：V_石=50：1，則V_冰=50V_石，
冰塊中冰的質(zhì)量：m_冰=ρ_冰V_冰=ρ_冰×50V_石=50ρ_冰V_石------①，
冰熔化為水，質(zhì)量不變，即m_冰化水=m_冰，
則冰熔化為水的體積：V_冰化水=$\frac{{m}_{冰化水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{50{ρ}_{冰}{V}_{石}}{{ρ}_{水}}$------②，
冰塊完全熔化后，水位上升了1.6cm，
則冰塊完全熔化后，鹽水的深度：h₂=h₁+△h′=43.6cm+1.6cm=45.2cm，
整個(gè)過程，如下圖所示：

由于鹽水和水混合后各自體積不變，則乙圖與最初沒有放入冰塊相比，增加的體積等于礦石的體積與冰熔化為水的體積之和；
所以有：S_容器（h₂-h₀）=V_石+V_冰化水------③
把②代入③可得：S_容器（h₂-h₀）=V_石+$\frac{50{ρ}_{冰}{V}_{石}}{{ρ}_{水}}$，
代入數(shù)據(jù)有：50cm²×（45.2cm-36cm）=V_石+$\frac{50×0.9g/c{m}^{3}×{V}_{石}}{1g/c{m}^{3}}$，
解得V_石=10cm³，
把V_石=10cm³ 代入①可得冰塊中冰的質(zhì)量：
m_冰=50ρ_冰V_石=50×0.9g/cm³×10cm³=450g；
夾著礦石的冰塊漂浮在鹽水中時(shí)，根據(jù)物體的漂浮條件可得：G_冰和石=F_浮=4.75N；
則冰和礦石的總質(zhì)量：m_冰和石=$\frac{{G}_{冰和石}}{g}$=$\frac{4.75N}{10N/kg}$=0.475kg=475g；
所以礦石的質(zhì)量：m_石=m_冰和石-m_冰=475g-450g=25g；
則礦石的密度：ρ_石=$\frac{{m}_{石}}{{V}_{石}}$=$\frac{25g}{10c{m}^{3}}$=2.5g/cm³=2.5×10³kg/m³；
（4）原來鹽水的體積：V_鹽水=S_容器h₀=50cm²×36cm=1800cm³，
原來鹽水的質(zhì)量：m_鹽水=ρ_鹽水V_鹽水=1.25g/cm³×1800cm³=2250g，
冰熔化為水的質(zhì)量：m_冰化水=m_冰=450g，
冰熔化為水的體積：V_冰化水=$\frac{{m}_{冰化水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{450g}{1g/c{m}^{3}}$=450cm³；
鹽水和水混合后，此時(shí)鹽水的密度：
ρ_鹽水′=$\frac{{m}_{鹽水}+{m}_{冰化水}}{{V}_{鹽水}+{V}_{冰化水}}$=$\frac{2250g+450g}{1800c{m}^{3}+450c{m}^{3}}$=1.2g/cm³；
礦石沉底時(shí)，其受到的浮力：F_浮石=ρ_鹽水′gV_排′=1.2×10³kg/m³×10N/kg×10×10^-6m³=0.12N；
礦石的重力：G_石=m_石g=0.025kg×10N/kg=0.25N，
礦石對容器底的壓力：F_壓=G_石-F_浮石=0.25N-0.12N=0.13N．
答：（1）這塊夾著礦石的冰塊漂浮時(shí)受到的浮力為4.75N；
（2）這塊夾著礦石的冰塊漂浮時(shí)鹽水對容器底的壓強(qiáng)5450Pa；
（3）礦石的密度為2.5×10³kg/m³；
（4）礦石對容器底的壓力為0.13N．

點(diǎn)評 本題綜合考查了阿基米德原理、密度公式的應(yīng)用、液體壓強(qiáng)的計(jì)算、受力分析；難點(diǎn)是第3小題，關(guān)鍵要利用“冰熔化為水，質(zhì)量不變”這個(gè)條件，同時(shí)通過液面高度變化找出體積變化的關(guān)系；本題未知量多、難度大，利用方程的思想以及作圖方法可幫助解題．