【題目】如圖，在等腰直角中，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)、不重合)，連結(jié)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).

(1)若，求的大小(用含的式子表示)；

(2)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【題目】如圖，物理教師為同學(xué)們演示單擺運(yùn)動(dòng)，單擺左右擺動(dòng)中，在的位置時(shí)俯角，在的位置時(shí)俯角，若，點(diǎn)比點(diǎn)高7．

求：（1）單擺的長(zhǎng)度；

（2）從點(diǎn)擺動(dòng)到點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．（要求：本題中的計(jì)算結(jié)果均保留整數(shù)．參考值：；）

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)E到AB的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

【題目】如圖1，2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖，已知底座BC=0.60米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長(zhǎng)為2.50米，籃板頂端F點(diǎn)到籃框D的距離FD=1.35米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃框D到地面的距離（精確到0.01米）（參考數(shù)據(jù)：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

【題目】將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，

如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為 ，連接，可求出的值為 ；

當(dāng)且時(shí)，

①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

如圖，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)，線段點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題，請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：

根據(jù)點(diǎn)在弧上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值．

操作中發(fā)現(xiàn)：

①"當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)， "．則上中的值是

②"線段的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到"．請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；

將線段的長(zhǎng)度作為自變量和的長(zhǎng)度都是的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示．請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；

繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值．(結(jié)果保留一位小數(shù))．

【題目】如圖，拋物線與軸正半軸，軸正半軸分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．

求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；

點(diǎn)為拋物線上兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)) ，且到對(duì)稱軸的距離分別為個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)之間(含點(diǎn))的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

【題目】我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具--------三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線 上，且的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等；與重直于點(diǎn) 足夠長(zhǎng)．

使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過的頂點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點(diǎn)為，則就把三等分了．

為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．

已知：如圖2，點(diǎn)在同一直線上，垂足為點(diǎn)，

求證：

方案一：購買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；

方案二：不購買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠；

設(shè)某學(xué)生暑期健身(次)，按照方案一所需費(fèi)用為，(元)，且；按照方案二所需費(fèi)用為(元) ，且其函數(shù)圖象如圖所示．

求和的值，并說明它們的實(shí)際意義；

求打折前的每次健身費(fèi)用和的值；

八年級(jí)學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂部健身次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少?說明理由．