【題目】如圖，點(diǎn)P是半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作∠APC=45°，交弦AB于點(diǎn)C．AB=6cm．小元根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對線段AP，PC，AC的長度進(jìn)行了測量．下面是小元的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）下表是點(diǎn)P是上的不同位置，畫圖、測量，得到線段AP，PC，AC長度的幾組值，如下表：

①經(jīng)測量m的值是（保留一位小數(shù)）．

②在AP，PC，AC的長度這三個(gè)量中，確定 的長度是自變量， 的長度和的長度都是這個(gè)自變量的函數(shù)；

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，AP的長度約為 cm（保留一位小數(shù)）．

（1）求證：EF是△ABC外接圓的切線；

（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的長．

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， BC交⊙O于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若，，求BF的長．

已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．

求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B．

作法：如圖，

①連接OP，分別以點(diǎn)O和點(diǎn)P為圓心，大于OP的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；

②連接MN，交OP于點(diǎn)Q，再以點(diǎn)Q為圓心，OQ的長為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B；

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：∵OP是⊙Q的直徑，

∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依據(jù)）．

∴PA⊥OA，PB⊥OB．

∵OA，OB為⊙O的半徑，

∴PA，PB是⊙O的切線．

【題目】如圖，曲線AB是拋物線的一部分（其中A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，B是頂點(diǎn)），曲線BC是雙曲線的一部分.曲線AB與BC組成圖形W由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”.若點(diǎn)，在該“波浪線”上，則m的值為________，n的最大值為________.

【題目】如圖，矩形中，，，E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，設(shè)，若以點(diǎn)D為圓心，為半徑的與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，則所有滿足條件的x的取值范圍是______．

（1）若P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA=DF時(shí)，求此時(shí)∠PAB的度數(shù)；

（2）將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．

①探求△CDO的形狀，并說明理由；

②在圖①中，若P是BC的中點(diǎn)，連接FP，將等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α= 時(shí)，FP長度最大，最大值為 （直接寫出答案即可）．

（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

（3）開動(dòng)腦筋想一想，相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．

（1）求∠BPQ的度數(shù)；

（2）求該電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1m）．備用數(shù)據(jù)：，

已知一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，且A、C為線段MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊）．

（1）直接寫出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)O、A、C，試求此二次函數(shù)的解析式；

②過點(diǎn)A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點(diǎn)，在此拋物線O、C之間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF交OC于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)P使得AP＝BE？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？若不存在，試說明理由；

（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動(dòng)到△O'A'B'（點(diǎn)A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當(dāng)S＝時(shí)點(diǎn)A'的坐標(biāo)．