Question

如圖①，在平面直角坐標系xoy中，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線AM繞著點A順時針旋45°得到射線AN．點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內(nèi)部．
（1）求線段AC的長；
（2）當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長的最小值；
（4）當△BCD的周長取得最小值，且時，△BCD的面積為．（第（4）問需填寫結(jié)論，不要求書寫）

Answer 1

解：（1）∵直線y=與x軸、y軸分別交于C、A兩點，
∴點C的坐標為（2，0），點A的坐標為（0，2）．
∴AC=4．

（2）當AD∥BC時，
依題意，可知∠DAB=45°，
∴∠ABO=45°．
∴OB=OA=2．
∵OC=2，
∴BC=2-2．
∴S_△BCD=BC•OA=2-2．
當AB∥DC時，
可得S_△BCD=S_△ACD．
設射線AN交x軸于點E，
∵AD∥x軸，
∴四邊形AECD為平行四邊形．
∴S_△AEC=S_△ACD．
∴S_△BCD=S_△AEC=CE•OA=2-2．
綜上所述，當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，S_△BCD=2-2．

（3）作點C關于射線AM的對稱點C₁，點C關于射線AN的對稱點C₂．
由軸對稱的性質(zhì)，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂連接AC₁、AC₂，
可得∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．
∵∠DAB=45°，
∴∠C₁AC₂=90°．
連接C₁C₂．
∵兩點之間線段最短，
∴當B、D兩點與C₁、C₂在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段C₁C₂的長．
∴△BCD的周長的最小值為4．

（4）根據(jù)（3）的作圖可知四邊形AMCN的對角互補，其中∠DAB=45°，因此，∠C₂C C₁=135°．
∵∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，
∠BC₂C=∠BCC₂，
∠DCC₁=∠DC₁C，
∴∠BCD=90°．
∴CB²+CD²=BD²=（）²
∵CB+CD=4-，
∴2CB•CD=（）²-（）²∴．
∴．
分析：（1）因為直線與x軸、y軸分別交于C、A兩點，所以分別令y=0，x=0，即可求出點C、點A的坐標，即可求出OA、OC的長度，利用勾股定理即可求出AC=4；
（2）因為AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形，所以需分情況討論：
①當AD∥BC時，因為將射線AM繞著點A順時針旋45°得到射線AN，點B為AN上的動點，所以∠DAB=45度．利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABO=45°，OB=OA=2，又因，所以，所以．
②當AB∥DC時，△BCD的面積=△ADC的面積，因為OA=2，OC=2，AC=4，所以∠DAC=∠ACO=30°，作CE⊥AD于E，因為∠EDC=∠DAB=45°，所以EC=ED=0.5AC=2，AE=2，所以AD=2-2，S_△BCD=．
（3）可作點C關于射線AM的對稱點C₁，點C關于射線AN的對稱點C₂．由軸對稱的性質(zhì)，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂，并且有∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．∠C₁AC₂=90°．
連接C₁C₂．利用兩點之間線段最短，可得到當B、D兩點與C₁、C₂在同一條直線上時，△BCD的周長最小，最小值為線段C₁C₂的長．
（4）根據(jù)（3）的作圖可知四邊形AC₁CC₂的對角互補，因此，∠C₂C C₁=135°．
利用∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，結(jié)合軸對稱可得∠BCD=90°．
利用勾股定理得到CB²+CD²=BD²=（）²，因為CB+CD=4-，可推出CB•CD的值，進而求出三角形的面積．
點評：本題需仔細分析題意，結(jié)合圖形，利用軸對稱、勾股定理來解決問題，另外解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．