Question

【題目】如圖，已知拋物線交x軸于A．B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)．

（1）求拋物線的對稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連結(jié)CA與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)D．

①在對稱軸上找一點(diǎn)P，使ΔAPC為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為；點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）①點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或；②存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)直線CM的解析式為．

【解析】

（1）令解關(guān)于x的一元二次方程可得點(diǎn)A坐標(biāo)；再將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式可得對稱軸；

（2）①先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)直角三角形的定義分三種情況，然后分別根據(jù)勾股定理求解即可得；

②如圖（見解析），先求出四邊形DEOC的面積，從而可得的面積，再根據(jù)三角形的面積公式可得OF的長，從而可得點(diǎn)F坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出直線CM的解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，看是否有交點(diǎn)即可得．

（1）令得

解得或

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式

則拋物線的對稱軸為；

（2）①令得，則點(diǎn)C坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為

由直角三角形的定義，分以下三種情況：

當(dāng)PA為斜邊時(shí)，則

即，解得

此時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為

當(dāng)PC為斜邊時(shí)，則

即，解得

此時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為

當(dāng)AC為斜邊時(shí)，則

即，解得

此時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為或

綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或；

②存在，求解過程如下：

∵軸，

是等腰直角三角形，，四邊形DEOC為直角梯形

是等腰直角三角形

設(shè)直線CM的解析式為，與OE的交點(diǎn)為點(diǎn)F

由題意得：

解得

將點(diǎn)代入直線CM的解析式得：

解得

則直線CM的解析式為

聯(lián)立，解得或

故存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)直線CM的解析式為．