Question

【題目】把任意一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0的多位自然數(shù)稱為“完美數(shù)”，若將一個三位“完美數(shù)“的各數(shù)位上的數(shù)字兩兩組合，形成六個新的兩位數(shù)，我們將這六個兩位相加的和，叫做該三位“完美數(shù)”的“完美雙和”，然后用所得的“完美雙和”除以18，得到的結(jié)果記為，例如“271”是一個三位“完美數(shù)”，六個新數(shù)為27，21，72，71，12，則：

（1）填空：______；

（2）證明：任意一個三位“完美數(shù)”的“完美雙和”與該三位“完美數(shù)”各數(shù)位上數(shù)字之差能被21除；

（3）已知一個三位“完美數(shù)”其中，且x，均為整數(shù)，滿足百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字的2倍加1，求出．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

根據(jù)的定義求解即可；

設(shè)三位“完美數(shù)”百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個位數(shù)為c，計算出“完美雙和”與該三位“完美數(shù)”各數(shù)位上數(shù)字之差，即可得證；

根據(jù)“完美數(shù)”其中，且x，均為整數(shù)是三位數(shù)，確定x的值，再根據(jù)這個三位數(shù)百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字的2倍加1，確定y的值，進(jìn)而得出三個三位數(shù)，最后根據(jù)的定義求解即可．

六個新數(shù)為51，15，53，35，13，31，則：；

三位“完美數(shù)”百位數(shù)為a，十位數(shù)為b，個位數(shù)為c，

則“完美雙和”與該三位“完美數(shù)”各數(shù)位上數(shù)字之差為：，

，b，c為正整數(shù)，

一個三位“完美數(shù)”的“完美雙和”與該三位“完美數(shù)”各數(shù)位上數(shù)字之差能被21除；

“完美數(shù)”其中，且x，均為整數(shù)是三位數(shù)，

或或，

當(dāng)時，，

這個三位數(shù)百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字的2倍加1，

，解得舍去，

當(dāng)時，，

這個三位數(shù)百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字的2倍加1，

，解得，

此時，

同的方法，可求得，

當(dāng)時，，

這個三位數(shù)百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字的2倍加1，

，解得，

此時，

同的方法，可求得．