Question

小明喜歡研究問題，他將一把三角板的直角頂點放在平面直角坐標(biāo)系的原點O處，兩條直角邊與拋物線y=ax²（a＜0）交于A、B兩點．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB=2時，則a=

-

2

2

；
（2）對同一條拋物線，當(dāng)小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，過點B作BC⊥x軸于點C，測得OC=1，求出此時點A的坐標(biāo)；
（3）對于同一條拋物線，當(dāng)小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時，他驚奇地發(fā)現(xiàn)，若三角板的兩條直角邊與拋物線有交點，則線段AB總經(jīng)過一個定點，請直接寫出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出點A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，計算即可求出a的值；
（2）根據(jù)OC=1可知點B的橫坐標(biāo)為1，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點B的縱坐標(biāo)，從而得到BC的長度，再過點A作推出AD⊥x軸于點D，然后推出△DAO與△COB相似，然后設(shè)出點A的坐標(biāo)并表示出OD、AD的長度，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計算即可得解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式，設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（m，-

2

2

m²）、B（n，-

2

2

n²），根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出mn=2，再利用待定系數(shù)法列式求出直線AB的解析式，根據(jù)解析式的常數(shù)項是常數(shù)-

2

即可得解．

解答：解：（1）∵OA=OB=2，
∴等腰Rt△AOB關(guān)于y軸對稱，
∴點A的坐標(biāo)為（-

2

，-

2

），
∴a（-

2

）²=-

2

，
解得a=-

2

2

；

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-

2

2

x²，
∵OC=1，
∴y_B=-

2

2

，
∴B（1，-

2

2

），
過點A作AD⊥x軸于點D，又BC⊥x軸于點C，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AO⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DAO∽△COB，
∴

OD

BC

=

AD

OC

，
設(shè)點A坐標(biāo)為（x，-

2

2

x²），則OD=-x，AD=-

2

2

x²，
∴

-x

2 2

=

2 2 x2

1

，
解得x=-2，
∴y_A=-2

2

，
故點A的坐標(biāo)為（-2，-2

2

）；

（3）定點坐標(biāo)是（0，-

2

）．
理由如下：根據(jù)（1）的結(jié)論，設(shè)點A、B的坐標(biāo)為A（m，-

2

2

m²）、B（n，-

2

2

n²），
根據(jù)（2）△DAO∽△COB，
∴

OD

BC

=

AD

OC

，
即

-m

- 2 2 n2

=

- 2 2 m2

n

，
整理得，mn=-2，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

km+b=- 2 2 m2 kn+b=- 2 2 n2

，
解得

k=- 2 2 (m+n) b= 2 2 mn

，
∴b=-2×

2

2

=-

2

，
∴三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時，直線AB的傾斜發(fā)生變化，但總是與y軸相交于點（0，-

2

），
即線段AB總經(jīng)過一個定點（0，-

2

）．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，有等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．