Question

【題目】閱讀下面材料，并回答問題：

定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的所有點組成的圖形叫拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

應(yīng)用：（1）如圖1，一條拋物線的焦點為F(0，1)，準(zhǔn)線為過點(0，-1)且平行于x軸的直線l；設(shè)點P(x，y)為拋物線上任意一點，小聰同學(xué)在應(yīng)用定義求這條拋物線的解析式時作出了如下不完整的解答，請你將余下部分補充出來．

解：設(shè)點P(x，y)為拋物線上任意一點，作PM⊥l于點M，則PM=_________

作PN⊥y軸于點N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=__________

∵PF=PM

∴_________=____________，

將方程兩邊同時平方，解得拋物線的解析式為_____________

（2）如圖2，在（1）的條件下，點A(1，3)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，則△FAP的周長最小值為________

（3）在（1）（2）的條件下，如圖3，點B(4，4)是坐標(biāo)平面內(nèi)另一點，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PF和FH，問在拋物線上是否存在點P，使得以P，F，H為頂點的三角形與△ABO相似？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y+1，，y+1，，；（2）；（3）存在，(1，)或(﹣1，)

【解析】

(1)設(shè)點P(x，y)為拋物線上任意一點，作PM⊥l于點M，根據(jù)拋物線的定義PF=PM以及兩點間的距離公式得到=，即可求解；

(2)拋物線的定義知PF=PM，為定長，故當(dāng)點A、P、M在同一直線上時，△FAP的周長最小，利用兩點間的距離公式即可求得最小值；

(3)根據(jù)兩點間的距離公式求得AB= AO=，由拋物線的定義知PF=PH，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解．

(1)設(shè)點P(，)為拋物線上任意一點，作PM⊥于點M，則PM=，

作PN⊥y軸于點N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=，

∵PF=PM，

∴=，

將方程兩邊同時平方，解得拋物線的解析式為；

故答案為：y+1，，y+1，，；

(2)∵PF=PM，

∴點A、P、M在同一直線上時，△FAP的周長最小，如圖：

，，

∴△FAP的周長最小值為：；

(3)存在，理由如下：

∵AB==，AO==，OB==4，

∴AB=OA，

∵PF=PH，

假設(shè)存在這樣的點P，使得以P，F，H為頂點的三角形與△ABO相似，

則PH與AB，FH與OB是對應(yīng)邊，

∴，

設(shè)點P(m，m2)，則H為(m，-1)，

則，

∴，

解得：，

∴點P坐標(biāo)(1，)或(﹣1，)．