反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義

  反比例函數(shù)y=(k≠0)任取一點M(a,b),過M作MA⊥x軸,MB⊥y軸,所得矩形OAMB的面積為S=MA·MB=|b|·|a|=|ab|.又因為b=,故ab=k,所以S=|k|(如圖(1)).

  這就是說,過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,所得的矩形面積為|k|.這就是k的幾何意義,會給解題帶來方便.現(xiàn)舉例如下:

  例1:如(2)圖,已知點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)都在反比例函數(shù)y=(k<0)的圖像上,試比較矩形P1AOB與矩形P2COD的面積大。

  解答:=|k|

  =|k|

  故

  例2:如圖(3),在y=(x>0)的圖像上有三點A、B、C,經(jīng)過三點分別向x軸引垂線,交x軸于A1、B1、C1三點,連結OA、OB、OC,記△OAA1、△OBB1、△OCC1的面積分別為S1、S2、S3,則有(  )

  A.S1=S2=S3

  B.S1<S2<S3

  C.S3<S1<S2

  D.S1>S2>S3

  解答:∵|k|=

  |k|=

  |k|=

  S1=S2=S3,故選A.

  例3:一個反比例函數(shù)在第三象限的圖像如圖(4)所示,若A是圖像任意一點,AM⊥x軸,垂足為M,O是原點,如果△AOM的面積是3,那么這個反比例函數(shù)的解析式是________.

  解答:∵S△AOM|k|

  又S△AOM=3,

  ∴|k|=3,|k|=6

  ∴k=±6

  又∵曲線在第三象限

  ∴k>0∴k=6

  ∴所以反比例函數(shù)的解析式為y=

  根據(jù)是述意義,請你解答下題:

  如圖(5),過反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像上任意兩點A、B分別作軸和垂線,垂足分別為C、D,連結OA、OB,設AC與OB的交點為E,△AOE與梯形ECDB的面積分別為S1、S2,比較它們的大小,可得

[  ]

A.S1>S2

B.S1=S2

C.S1<S2

D.大小關系不能確定

答案:B
解析:

∵S△AOC=S△BOD∴S△AOE=S梯形ECOB∴選B.


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a
x
相交于點A(1,y)、點B(x,-2),甲同學說:未知數(shù)太多,求不出的.乙同學說:可能不是用待定系數(shù)來求.丙說:如果用數(shù)形結合的方法,兩交點在坐標中的位置特殊性,可以試試.請你根據(jù)以上三個同學的談話,結合自已的經(jīng)驗解決以下兩個問題:
(1)求出a+k的值.
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a
x

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x
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ax
相交于點A(1,b)、點B(c,-2),求k+a的值.甲同學說:未知數(shù)太多,很難求的;乙同學說:可能不是用待定系數(shù)法來求;丙說:如果用數(shù)形結合的方法,利用兩交點在坐標系中位置的特殊性,可以試試.請結合他們的討論求出k+a=
-4或4
-4或4

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(1)比例系數(shù)k=
-2
-2
;
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(3)當x>1時,寫出y的取值范圍.

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