Question

如圖1，已知兩個(gè)反比例函數(shù)y1=

k1

x

和y2=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，動(dòng)點(diǎn)A在y1=

k1

x

的圖象上，AB∥y軸，與y2=

k2

x

的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD都與x軸平行，分別與y2=

k2

x

、y1=

k1

x

的圖象交于點(diǎn)C、D．
（1）用含k₁、k₂的代數(shù)式表示四邊形ACOB的面積．
（2）當(dāng)k₁=8，k₂=2時(shí)，
①若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為2，求梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②將y2=

k2

x

沿x軸翻折得到y3=

k3

x

，動(dòng)點(diǎn)N在y₃上，若∠AON=90°，求

AO

ON

的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義進(jìn)行解答即可；
（2）①首先根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和雙曲線的解析式，可以分別求得點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可以運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，根據(jù)題意，得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是2，再進(jìn)一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)；
②先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出反比例函數(shù)y3=

k3

x

的解析式，設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)互相垂直的兩條直線的關(guān)系求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出AO及ON的長(zhǎng)，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y₁=

k1

x

，y₂=

k2

x

，的圖象上，AG⊥x軸，AH⊥y軸，
∴S_矩形AHOG=k₁，S_△HOC=S_△BOG=

k2

2

∴S_{四邊形ACOB}=S_矩形AHOG-（S_△HOC+S_△BOG=）=k₁-2×

k2

2

=k₁-k₂；

（2）①由題可知，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（2，1），C（

1

2

，4），D（8，1）．
∵設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
∴

1 2 k+b=4 8k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 21 5

，
∴直線CD的解析式為y=-

2

5

x+

21

5

，
∵AB∥y軸，F(xiàn)為梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴x=2時(shí)，y=（-

2

5

）×2+

21

5

=

17

5

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，

17

5

）
②∵反比例函數(shù)y2=

k2

x

與y3=

k3

x

關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴反比例函y3=

k3

x

的解析式為y=-

2

x

，
∵點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=-

2

x

的圖象上，
∴設(shè)N（x，-

2

x

）（x＞0），
∵∠AON=90°，由①知A（2，4），
∴

4

2

×（-

2 x

x

）=-1，解得x=2或x=-2（舍去），
∴N（2，-1），
∴ON=

22+12

=

5

，AO=

22+42

=2

5

，
∴

AO

ON

=

2 5

5

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)函數(shù)的解析式及關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，涉及面較廣，難度適中．