Question

【題目】長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉至AN立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是a°/秒，燈B轉動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

⑴求a、b的值；

⑵若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

⑶如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，則在轉動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請求出其取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=3，b=1；（2）t=10秒或85秒；（3）不變，2∠BAC=3∠BCD．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)|a-3b|+（a+b-4）2=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，進而得出a、b的值；（2）設A燈轉動x秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：①在燈A射線轉到AN之前，②在燈A射線轉到AN之后，分別求得t的值即可；（3）設燈A射線轉動時間為t秒，根據(jù)∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系．

試題解析：（1）∵a、b滿足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，

∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0， ∴a=3，b=1；

（2）設A燈轉動x秒，兩燈的光束互相平行，

①，在燈A射線轉到AN之前，

3t=（20+t）×1，

解得t=10；

②，在燈A射線轉到AN之后，

3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，

解得t=85，

綜上所述，當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）設燈A射線轉動時間為t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，

∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，

又∵PQ∥MN，

∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，

∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，

∴∠BAC：∠BCD=3：2，

即2∠BAC=3∠BCD．