Question

【題目】如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出一串?dāng)?shù)字，與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做 “和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個(gè)位排出的一串?dāng)?shù)字是：6、4、7、4、6，從個(gè)位到最高排出的一串?dāng)?shù)字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”．

（1）請(qǐng)你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除，并說(shuō)明理由；[來(lái)。

（2） 已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為x（，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析，能被11整除；y=2x（1≤x≤4）

【解析】試題分析：根據(jù)“和諧數(shù)”的定義寫出數(shù)字，然后設(shè)“和諧數(shù)”的形式為abcd，則根據(jù)題意得出a=d，b=c，然后將這個(gè)四位數(shù)除以11，將其化成代數(shù)式的形式，用a和b來(lái)表示c和d，然后得出答案，進(jìn)行說(shuō)明能被11整除；首先設(shè)三位“和諧數(shù)”為zyx，根據(jù)定義得出x=z，然后根據(jù)同上的方法進(jìn)行計(jì)算．

試題解析：⑴、四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下：

設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為： ，則滿足：

最高位到個(gè)位排列： 個(gè)位到最高位排列：

由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：

則

∴ 四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù) 又∵為任意自然數(shù)，

∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除

⑵、設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為： ，則滿足：個(gè)位到最高位排列：

最高位到個(gè)位排列： 由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則： 故

為正整數(shù) ∴