Question

【題目】已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點(diǎn)P沿梯形的邊，從點(diǎn)A→B→C→D→A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為x，BP＝y．

（1）求證：∠A＝2∠CBD；

（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長(zhǎng)．

（3）在（2）的情況下，點(diǎn)P從A→B→C→D→A移動(dòng)的過程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．

【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等可以進(jìn)一步證明∠A＝2∠CBD,

(2) 根據(jù)題意描述，可以確定AB=5，AB+BC＝8,再通過作DE⊥AB于來構(gòu)造直角三角形可以求出CD長(zhǎng)度.

(3) 根據(jù)題目描述分情況來討論哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形頂點(diǎn)，進(jìn)而列方程進(jìn)行求出P點(diǎn)位置情況.

（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，

∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，

∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，

∴∠A＝2∠CBD；

（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，

∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：

則DE＝BC＝3，CD＝BE，

∵AD＝AB＝5，

∴AE＝＝4，

∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；

（3）解：可能；理由如下：

分情況討論：

①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，

當(dāng)PD＝PB時(shí)，P與A重合，x＝0；

當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，

∴AP＝3，

∴x＝3；

當(dāng)BP＝BD＝＝時(shí)，AP＝5﹣，

即x＝5﹣；

②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，

此時(shí)，x＝5+＝；

③點(diǎn)P在AD上時(shí)，

當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，x＝5+3+1+2＝10；

當(dāng)DP＝DB＝時(shí)，x＝5+3+1+＝9+；

綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．