【題目】如圖,直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B,并與x軸交于另一點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為P.

(1)求,的值;

(2)拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)Q,使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)M、N,使以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,求此正方形的邊長.

【答案】(1)a,k的值分別為1,1;(2)(2,2);(3)

【解析】

試題分析:(1)先求出直線y=-3x+3與x軸交點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo),再將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a(x-2)2+k,得到關(guān)于a,k的二元一次方程組,解方程組即可求解;

(2)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E.在RtAQF與RtBQE中,用勾股定理分別表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2,BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,由AQ=BQ,得到方程1+m2=4+(3-m)2,解方程求出m=2,即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時(shí),由NC與AC不垂直,得出AC為正方形的對角線,根據(jù)拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì),得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P(2,-1)重合,N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),此時(shí),MF=NF=AF=CF=1,且ACMN,則四邊形AMCN為正方形,在RtAFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長.

試題解析:(1)直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,

A(1,0),B(0,3).

拋物線拋物線y=a(x2)2+k經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(0,3),

, 解得,

故a,k的值分別為1,1;

(2)如圖,設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,m),對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F,

過點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E.

在RtAQF中,AQ2=AF2+QF2=1+m2,

在RtBQE中,BQ2=BE2+EQ2=4+(3m)2,

AQ=BQ,1+m2=4+(3m)2,

m=2,

Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2);

(3)當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時(shí),NC與AC不垂直,所以AC應(yīng)為正方形的對角線.

對稱軸x=2是AC的垂直平分線,M為拋物線上的點(diǎn).

M點(diǎn)與頂點(diǎn)P(2,1)重合,N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),

其坐標(biāo)為N(2,1).

此時(shí),MF=NF=AF=CF=1,且ACMN, 四邊形AMCN為正方形.

在RtAFN中,AN==,即正方形的邊長為

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