【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若MAB與NBA的平分線分別交射線BN,AM于點(diǎn)E,F(xiàn),AE和BF交于點(diǎn)P.如圖,點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM,BN交于點(diǎn)C;且ACB=60°時(shí),有以下兩個(gè)結(jié)論:

①∠APB=120°;AF+BE=AB.

那么,當(dāng)AMBN時(shí):

(1)點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)求出APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系,并給予證明;

(2)設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn),QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32,求AQ的長(zhǎng).

【答案】(1)、APB=90°,AF+BE=2AB;理由見解析;(2)、AQ=43或4+3

【解析】

試題分析:(1)、由角平分線和平行線整體求出MAB+NBA,從而得到APB=90°,最后用等邊對(duì)等角,即可;(2)、先根據(jù)條件求出AF,F(xiàn)G,求出FAG=60°,最后分兩種情況討論計(jì)算.

試題解析:(1)、原命題不成立,新結(jié)論為:APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),

理由:AMBN, ∴∠MAB+NBA=180°, AE,BF分別平分MAB,NBA,

∴∠EAB=MAB,FBA=NBA, ∴∠EAB+FBA=MAB+NBA)=90°, ∴∠APB=90°,

AE平分MAB, ∴∠MAE=BAE, AMBN, ∴∠MAE=BAE, ∴∠BAE=BEA, AB=BE,

同理:AF=AB, AF=+BE=2AB(或AF=BE=AB);

(2)、如圖1,

過點(diǎn)F作FGAB于G, AF=BE,AFBE, 四邊形ABEF是平行四邊形, AF+BE=16,

AB=AF=BE=8, 32=8×FG, FG=4 在RtFAG中,AF=8, ∴∠FAG=60°,

當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí),FAB=60°,

當(dāng)點(diǎn)G在線段BA延長(zhǎng)線時(shí),FAB=120°,

如圖2,

當(dāng)FAB=60°時(shí),PAB=30°, PB=4,PA=4, BQ=5,BPA=90°, PQ=3,

AQ=43或AQ=4+3.

如圖3,

當(dāng)FAB=120°時(shí),PAB=60°,FBG=30°, PB=4, PB=4>5,

線段AE上不存在符合條件的點(diǎn)Q,

當(dāng)FAB=60°時(shí),AQ=43或4+3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在矩形 ABCD中, AB16 , BC18 ,點(diǎn) E在邊 AB 上,點(diǎn) F 是邊 BC 上不與點(diǎn) B、C 重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把△EBF沿 EF 折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn) B' .

(I) AE0 時(shí),且點(diǎn) B' 恰好落在 AD 邊上,請(qǐng)直接寫出 DB' 的長(zhǎng);

(II) AE3 時(shí), △CDB' 是以 DB' 為腰的等腰三角形,試求 DB' 的長(zhǎng);

(III)AE8時(shí),且點(diǎn) B' 落在矩形內(nèi)部(不含邊長(zhǎng),試直接寫出 DB' 的取值范圍.

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【題目】如圖,∠1+∠2=180°,∠B=∠D.說明ABCD的理由.

補(bǔ)全下面的說理過程,并在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)睦碛?/span>

解:∵∠1+∠2=180°(已知)

∠2=∠AHB   

   (等量代換)

DEBF   

∴∠D=∠      

∵∠   =∠B(等量代換)

ABCD   

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【題目】如圖,RtABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折,使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處;再將邊BC沿CF翻折,使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F,則線段B′F的長(zhǎng)為( 。

A. B. C. D.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)

(1)將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1;
(2)分別連結(jié)AB1、BA1后,求四邊形AB1A1B的面積.

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【題目】體育課上,20人一組進(jìn)行足球比賽,每人射點(diǎn)球5次,已知某一組的進(jìn)球總數(shù)為49個(gè),進(jìn)球情況記錄如下表,其中進(jìn)2個(gè)球的有x人,進(jìn)3個(gè)球的有y人,若(x, y)恰好是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),則這兩條直線的解析式是( 。

A. y=x+9 B. y=-x+9

C. y=-x+9 D. y=x+9

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【題目】如圖所示,B,C兩點(diǎn)把線段AD分成4:5:7的三部分,E是線段AD的中點(diǎn),CD=14厘米.

(1)求EC的長(zhǎng).

(2)求AB:BE的值.

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【題目】如圖,為了測(cè)量出樓房AC的高度,從距離樓底C處60 米的點(diǎn)D(點(diǎn)D與樓底C在同一水平面上)出發(fā),沿斜面坡度為i=1: 的斜坡DB前進(jìn)30米到達(dá)點(diǎn)B,在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為53°,求樓房AC的高度(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈ ,計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示,不取近似值).

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【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位.在《算法統(tǒng)宗》中記載:以繩測(cè)井,若將繩三折測(cè)之,繩多4尺,若將繩四折測(cè)之,繩多1尺,繩長(zhǎng)井深各幾何?

譯文:用繩子測(cè)水井深度,如果將繩子折成三等份,井外余繩4尺;如果將繩子折成四等份,井外余繩1尺.問繩長(zhǎng)、井深各是多少尺?

設(shè)井深為x尺,根據(jù)題意列方程,正確的是(  )

A. 3(x+4)=4(x+1) B. 3x+4=4x+1

C. 3(x﹣4)=4(x﹣1) D.

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