Question

在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B（-3，1）在拋物線y=ax²+ax-2上，點(diǎn)C在x軸上．
（1）求a的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若△ABC是等腰直角三角形
①如圖1，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，當(dāng)點(diǎn)C′（2，1）恰好落在該拋物線上，請你通過計(jì)算說明點(diǎn)B′也在該拋物線上．
②如圖2，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D、P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線D→C→B運(yùn)動到點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿拋物線（在第二、三象限的部分）運(yùn)動到點(diǎn)B，若P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度相同，請問誰先到達(dá)點(diǎn)B，為什么？

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（-3，1）代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax²+ax-2即可求出a的值；
（2）過B作BE⊥x軸，垂足為E，設(shè)OC=a，證明△BEC∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等得到根據(jù)a的方程解方程求出a的值即可；
（3）①若△ABC是等腰直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，則AC=AC′=

5

，CC′=

10

，∠CAC′=90°，進(jìn)而求出B′的坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式驗(yàn)證即可；②由拋物線的解析式可求出頂點(diǎn)M坐標(biāo)（-

1

2

，-

17

8

），物線與y軸的交點(diǎn)為D、P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線D→C→B運(yùn)動到點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿拋物線（在第二、三象限的部分）運(yùn)動到點(diǎn)B，則DC+BC=2

5

，DM+MB=

5

8

41

+

17

8

，因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度相同再比較DC+BC和DM+MB的大小即可知道誰先到達(dá)點(diǎn)B．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（-3，1）在拋物線y=ax²+ax-2上，
∴1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

；
（2）過B作BE⊥x軸，垂足為E，設(shè)OC=a，則CE=OE-OC=3-x，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠BCE+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCE=∠CAO，
∴△BEC∽△COA，
∴

BE

CO

=

CE

AO

，
即

1

a

=

3-x

2

，
整理得：a²-3a+2=0，
解得：a=1或2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）或（-2，0）；
（3）若△ABC是等腰直角三角形，則C的坐標(biāo)是（-1，0），
①將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，則AC=AC′=

5

，CC′=

10

，∠CAC′=90°，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（1，-1），
把（1，-1）代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2得：

1

2

×1+

1

2

×1-2=-1，
∴點(diǎn)B′也在該拋物線上；
②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)M，
∵y=

1

2

x²+

1

2

x-2=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

17

8

），
∴DC+BC=2

5

≈4.42，DM+MB=

5

8

41

+

17

8

≈

4.517，
∴DC+BC＜DM+MB，
∵P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度相同，
∴P點(diǎn)先到達(dá)點(diǎn)B．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識；（3）題中，由于Q點(diǎn)的移動軌跡是條曲線，在求其移動距離時(shí)，能夠通過輔助線來化曲為直，間接的得出P、Q的路程大小是解決問題的關(guān)鍵．