Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段PO交線段BC于點(diǎn) E．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC時(shí)，

①求滿足條件的所有點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)H在線段AB上時(shí)，點(diǎn)Q是線段BH外一點(diǎn)，QH＝1，連接BQ，將線段BQ繞著點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QM，連接MH，直接寫(xiě)出線段MH的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣2，3)或(﹣1，4)；(3)①點(diǎn)H的坐標(biāo)是(﹣1，0)或(﹣9，0)；②2﹣≤MH≤2+．

【解析】

(1)先把點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(﹣3，0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中列方程組，解方程組可得a和c的值，從而得拋物線的表達(dá)式；

(2)先根據(jù)待定系數(shù)法求BC的解析式為：y=x+3，根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可得，證明△OEH∽△OPG，得，可設(shè)E(3m，3m+3)，則P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，代入比例式可得方程，解出即可得結(jié)論；

(3)①由對(duì)稱得：N(﹣2，3)，有兩種情況：如圖2，i)當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB=∠NBC，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)H1的坐標(biāo)；ii)當(dāng)∠H2CB=∠NBC，設(shè)H2(n，0)，直線CH2與BN交于點(diǎn)M，確定BN和CH2的解析式，利用方程組的解可得M的坐標(biāo)(，)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式利用BM=CM，列方程可得結(jié)論；

②如圖3，當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最小，作輔助線，構(gòu)建矩形MFGH是，證明△BGQ≌△QFM(AAS)，得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜邊為1可得QG=GH=，利用全等三角形的性質(zhì)與線段和與差可得結(jié)論；同理如圖4，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最大，同理可得最大值MH的長(zhǎng)，從而得結(jié)論．

(1)把點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(﹣3，0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)如圖1，過(guò)P作PG⊥y軸于G，過(guò)E作EH⊥y軸于H，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C(0，3)，

設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，

則，解得，

∴BC的解析式為：y=x+3，

∵△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，且，

∴，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

∴，

∴設(shè)E(3m，3m+3)，則P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，

∴，

∴25m2+15m+2=0，

(5m+2)(5m+1)=0，

m1=，m2=，

當(dāng)m=時(shí)，5m=﹣2，則P(﹣2，3)，

當(dāng)m=時(shí)，5m=﹣1，則P(﹣1，4)，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣2，3)或(﹣1，4)；

(3)①由對(duì)稱得：N(﹣2，3)，

∵∠HCB=∠NBC，

如圖2，連接CN，有兩種情況：

i)當(dāng)BN∥CH1時(shí)，∠H1CB=∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四邊形CNBH1是平行四邊形，

∴，

∴H1(﹣1，0)；

ii)當(dāng)∠H2CB=∠NBC，

設(shè)H2(n，0)，直線CH2與BN交于點(diǎn)M，

∴BM=CM，

∵B(﹣3，0)，N(﹣2，3)，

∴同理可得BN的解析式為：y=3x+9，

設(shè)CH2的解析式為：y=k1x+b1，

則，解得：，

∴設(shè)CH2的解析式為：y=+3，

解方程組，得，

∴M(，)，

∵BM=CM，

∴，

解得：n=﹣9或﹣1(舍)，

∴H2(﹣9，0)，

綜上，點(diǎn)H的坐標(biāo)是(﹣1，0)或(﹣9，0)；

②如圖3，當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最小，過(guò)Q作QG⊥x軸，過(guò)M作MF⊥QG于F，則四邊形MFGH是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，

∴△BGQ≌△QFM(AAS)，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FG=FQ﹣QG=BG﹣GH=2﹣﹣=2﹣；

如圖4，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，且MH⊥x軸時(shí)，MH最大，過(guò)Q作QG⊥x軸，作QF⊥MH于F，則四邊形QFHG是矩形，

∴FQ=GH，GQ=FH，

同理得△BGQ≌△MFQ(AAS)，

∴QG=FQ=GH，BG=MF，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；

∴MH的取值范圍是2﹣≤MH≤2+．