【題目】定義:如果M個不同的正整數,對其中的任意兩個數,這兩個數的積能被這兩個數的和整除,則稱這組數為M個數的自然數組,如(3,6)為兩個數的自然數組,因為(3×6)能被(3+6)整除;又如(15,30,60)為三個數的自然數組,因為(15×30)能被(15+30)整除,(15×60)能被(15+60)整除,(30×60)能被(30+60)整除…
(1)求證:2n和n(n﹣2)(n≥3,n為整數)組成的數組是兩個數的自然數組;
(2)若(4a,5a,6a)是三個數的自然數組,求滿足條件的三位正整數a,并判斷(4a+5,5a+5,6a+5)是否為自然數組.
【答案】(1)詳見解析;(2)不是,理由詳見解析.
【解析】
(1)根據祖沖之數組的定義,即可解決問題;(2)首先根據定義判斷出a是5,9,11的公倍數,由此即可解決問題.
(1)∵2nn(n-2)=2n2(n-2),而2n+n(n-2)=n2
且:2n2(n-2)能被n2整除,
∴2n和n(n-2)(n≥3,n為整數)組成的數組是兩個數的自然數組.
(2)∵(4a,5a,6a)是三個數的自然數組,
∴,,都是整數,
∴a是5、9、11的公倍數,
∴5911=495,4952=990,
∴滿足條件的三位正整數a為495或990.
同理:當a=990時不能整除,
故(4a+5,5a+5,6a+5)不是自然數組.
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【題目】一項工程,甲,乙兩公司合做,12天可以完成,共需付施工費102000元;如果甲,乙兩公司單獨完成此項工程,乙公司所用時間是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元.
(1)甲,乙兩公司單獨完成此項工程,各需多少天?
(2)若讓一個公司單獨完成這項工程,哪個公司的施工費較少?
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【題目】一條船上午點在處望見西南方向有一座燈塔(如圖),此時測得船和燈塔相距海里,船以每小時海里的速度向南偏西的方向航行到處,這時望見燈塔在船的正北方向.(參考數據:,).
求幾點鐘船到達處;
求船到達處時與燈塔之間的距離.
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【題目】若a使關于x的不等式組 有兩個整數解,且使關于x的方程有負數解,則符合題意的整數a的個數有 ( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數y=(x>0,m≠0)的圖象交于點C,與x軸、y軸分別交于點D、B,已知OB=3,點C的橫坐標為4,cos∠0BD=
(1)求一次函數及反比例函數的表達式;
(2)將一次函數圖象向下平移,使其經過原點O,與反比例函數圖象在第四象限內的交點為A,連接AC,求四邊形OACB的面積.
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【題目】如圖,∠AOB=90°,OA=12cm,OB=8cm,一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O,機器人立即從點B出發(fā),沿BC方向勻速前進攔截小球,恰好在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,并且它們的運動時間也相等.
(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置,不必敘述作圖過程,保留作圖痕跡;
(2)求線段OC的長.
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【題目】在如圖所示的直角坐標系中,解答下列問題.
(1)分別寫出A、B兩點的坐標:A ,B .
(2)△ABC的面積= ;點B到AC的距離= .
(3)畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1.
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【題目】如圖,已知和是兩個邊長都為的等邊三角形,且點,,,在同一直線上,連接,.
求證:四邊形是平行四邊形;
若沿著的方向勻速運動,不動,當運動到點與點重合時,四邊形是什么特殊的四邊形?說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD,F為CD上一點,∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度數為整數,則∠C的度數為_____.
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