【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動.點P,Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.

(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當t為何值時,△ACG的面積最大?最大值為多少?
(3)在動點P,Q運動的過程中,當t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形?請直接寫出t的值.

【答案】
(1)解:A(1,4).

由題意知,可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4

∵拋物線過點C(3,0),

∴0=a(3﹣1)2+4,

解得,a=﹣1,

∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3


(2)解:∵A(1,4),C(3,0),

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+6.

∵點P(1,4﹣t).

∴將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得點E的橫坐標為x=1+

∴點G的橫坐標為1+ ,代入拋物線的解析式中,可求點G的縱坐標為4﹣

∴GE=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣

又∵點A到GE的距離為 ,C到GE的距離為2﹣ ,

即SACG=SAEG+SCEG= EG + EG(2﹣

= 2(t﹣ )=﹣ (t﹣2)2+1.

當t=2時,SACG的最大值為1


(3)解:第一種情況如圖1所示,點H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

根據(jù)△APE∽△ABC,知

= ,即 = ,解得t=20﹣8 ;

第二種情況如圖2所示,點H在AC的下方,由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE= t,EM=2﹣ t,MQ=4﹣2t.

則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2﹣ t)2+(4﹣2t)2=t2,

解得,t1= ,t2=4(不合題意,舍去).

綜上所述,t=20﹣8 或t=


【解析】(1)頂點A坐標可根據(jù)A、B橫坐標相同,與D的縱坐標關(guān)相同求出,利用待定系數(shù)法求出解析式;(2)通過豎直線段把三角形分割為兩個三角形,用t的代數(shù)式表示SACG,構(gòu)建函數(shù),利用配方法求出最值;(3)以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形可分類討論為:四邊形CQEH是菱形;四邊形CQHE是菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)及勾股定理可求出.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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解:∵,∴________.( )

,∴________( )

.(等量代換)

,∴________°

應(yīng)用:如圖2,直線、兩兩相交,交點分別為點A、BC,點D在線段的延長線上,過點D于點E,過點E于點F.若,求的度數(shù),并仿照(1)進行說明.

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C.4個
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