【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點A和點B,與y軸交于點C,且OB=3OC,點P是第一象限內(nèi)的點,連接BC,PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.

(1)求這個拋物線的表達式;

(2)求點P的坐標(biāo);

(3)點Q在x軸上,若以Q、O、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形相似,求點Q的坐標(biāo).

【答案】(1);(2)P(2,2);(3)(﹣4,0)或(﹣2,0).

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出PMC≌△PNB,再用PC2=PB2,建立方程求解即可;

(3)先判斷出點Q只能在點O左側(cè),再分兩種情況討論計算即可.

試題解析:(1)拋物線y=ax2﹣4ax+1,點C的坐標(biāo)為(0,1).

OB=3OC,點B的坐標(biāo)為(3,0),∴9a﹣12a+1=0,a=,∴

(2)如圖,過點P作PMy軸,PNx軸,垂足分別為點M、N.

∵∠MPC=90°﹣CPN,NPB=90°﹣CPN,∴∠MPC=NPB.

PCM和PBN中,∵∠PMC=PNB,MPC=NPB,PC=PB,∴△PMC≌△PNB,PM=PN.

設(shè)點P(a,a).

PC2=PB2a2+(a﹣1)2=(a﹣3)2+a2

解得a=2,∴P(2,2).

(3)該拋物線對稱軸為x=2,B(3,0),A(1,0).

P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),PO=,AC=,AB=2.

∵∠CAB=135°,POB=45°,在RtBOC中,tanOBC=,∴∠OBC45°,OCB90°,在RtOAC中,OC=OA,∴∠OCA=45°,∴∠ACB45°,當(dāng)OPQ與ABC相似時,點Q只有在點O左側(cè)時.

(i)當(dāng)時,OQ=4,Q(﹣4,0).

(ii)當(dāng)時,,OQ=2,Q(﹣2,0).

當(dāng)點Q在點A右側(cè)時,綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(﹣4,0)或(﹣2,0).

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2)如圖2,ACBDCE均為等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE

填空:∠AEB的度數(shù)為   ;線段BEAD之間的數(shù)量關(guān)系是   

3)拓展探究

如圖3,ACBDCE均為等腰直角三角形,∠ACB=DCE=90°,點A、D、E在同一直線上,CMDCEDE邊上的高,連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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(3)如圖(3)若BO、CO分別是ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線,且相交于點O,求∠BOC

(4)根據(jù)上述三問的結(jié)果,當(dāng)∠A時,分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系(只需寫出結(jié)論).

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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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