Question

(本題12分)
如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個(gè)長度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動． 動直線EF從軸開始以每秒1個(gè)長度單位的速度向上平行移動（即EF∥軸），并且分別與軸、線段AB交于E、F點(diǎn)．連結(jié)FP，設(shè)動點(diǎn)P與動直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；
（2）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)(t₁≠t₂)，所對應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

（1）梯形OPFE的面積為18；（2）當(dāng)t="5" (在0<t<范圍內(nèi))時(shí)，S_最大值=50.
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形.
∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.

解析試題分析：解：設(shè)梯形OPFE的面積為S.
(1) 由直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)
∴A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..
當(dāng)t=1時(shí)，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.
∴S=(OP+EF)·OE=18.
(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.
∴當(dāng)t="5" (在0<t<范圍內(nèi))時(shí)，S_最大值="50."

D

(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形.

∴FD=OE=t，AF=FD=t. 又AP=3t.
當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
考點(diǎn)：梯形面積公式；動點(diǎn)問題
點(diǎn)評：難題較高。本題考查學(xué)生對梯形面積公式的計(jì)算，相似三角形判定及動點(diǎn)和動直線作用下圖形變化的理解，找出相對應(yīng)的變量，結(jié)合上下題之間能使用的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算。要能夠在眾多條件中準(zhǔn)確找出對應(yīng)所需的信息。