【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G,再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H,得到矩形EFGH,則在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí),求出該正方形的邊長;
(3)設(shè)P點(diǎn)是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),連接PA、PC,求△PAC面積的取值范圍,若△PAC面積為整數(shù)時(shí),這樣的△PAC有幾個(gè)?
【答案】(1);(2);(3),有5個(gè).
【解析】試題分析:(1)設(shè)交點(diǎn)式為y=a(x+1)(x-3),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可;
(2)設(shè)E(t,t2-2t-3),討論:當(dāng)0<t<1時(shí),如圖1,EF=2(1-t),EH=-(t2-2t-3),利用正方形的性質(zhì)得2(1-t)=-(t2-2t-3);當(dāng)1<t<3時(shí),如圖2,利用正方形的性質(zhì)得2(t-1)=-(t2-2t-3),當(dāng)t>3時(shí),2(t-1)=t2-2t-3,然后分別解方程得到滿足條件的t的值,再計(jì)算出對應(yīng)的正方形的邊長;
(3)設(shè)P(x,x2-2x-3),討論:當(dāng)-1<x<0時(shí),由于S△ABC=6,則0<S△APC<6,當(dāng)0<x<3時(shí),作PM∥y軸交AC于點(diǎn)M,如圖3,求出直線AC的解析式為y=x-3,則M(x,x-3),利用三角形面積公式得S△APC=3(-x2+3x),利用二次函數(shù)的性質(zhì)得0<S△APC<,所以0<S△APC<6,于是得到△PAC面積為整數(shù)時(shí),它的值為1、2、3、4、5.
試題解析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x3),
把C(0,3)代入得3a=3,解得a=1,
所以拋物線解析式為y=(x+1)(x3),
即y=x22x3;
(2)拋物線的對稱軸為直線x=1,
設(shè)E(t,t22t3),
當(dāng)0<t<1時(shí),如圖1,EF=2(1t),EH=(t22t3),
∵矩形EFGH為正方形,
∴EF=EH,即2(1t)=(t22t3),
整理得t24t1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2 (舍去);
當(dāng)1<t<3時(shí),如圖2,EF=2(t1),EH=(t22t3),
∵矩形EFGH為正方形,
∴EF=EH,即2(t1)=(t22t3),
整理得t25=0,解得t1=,t2= (舍去),
此時(shí)正方形EFGH的邊長為22;
當(dāng)t>3時(shí),EF=2(t1),EH=t22t3,
∵矩形EFGH為正方形,
∴EF=EH,即2(t1)=t22t3,
整理得t24t1=0,解得t1=2+,t2=2 (舍去),
此時(shí)正方形EFGH的邊長為2+2,
綜上所述,正方形EFGH的邊長為22或2+2;
(3)設(shè)P(x,x22x3),
當(dāng)1<x<0時(shí),
∵S△ABC=×4×3=6,
∴0<S△APC<6,
當(dāng)0<x<3時(shí),作PM∥y軸交AC于點(diǎn)M,如圖3,
易得直線AC的解析式為y=x3,則M(x,x3),
∴PM=x3(x22x3)=x2+3x,
∴S△APC=×3(x2+3x)=x2+x=(x)2+,
當(dāng)x=時(shí),S△APC的面積的最大值為,即0<S△APC<,
綜上所述,0<S△APC<6,
∴△PAC面積為整數(shù)時(shí),它的值為1、2、3、4、5,即△PAC有5個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究規(guī)律:我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論:若兩條直線平行,那么在一條直線上任取一點(diǎn),無論這點(diǎn)在直線的什么位置,這點(diǎn)到另一條直線的距離均相等.例如:如圖1,兩直線∥,兩點(diǎn),在上,⊥于,⊥于,則.
如圖2,已知直線∥,,為直線上的兩點(diǎn),.為直線上的兩點(diǎn).
(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形: .
(2)如果,,為三個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)在上移動,那么無論點(diǎn)移動到任何位置,總有: 與的面積相等;理由是: .
解決問題:
如圖3,五邊形是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖,經(jīng)過多年開墾荒地,現(xiàn)已變成如圖4所示的形狀,但承包土地與開墾荒地的分界小路(圖4中折線)還保留著,張大爺想過點(diǎn)修一條直路,直路修好后,要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣多.請你用以上的幾何知識,按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案.(不計(jì)分界小路與直路的占地面積)
(1)寫出設(shè)計(jì)方案,并在圖4中畫出相應(yīng)的圖形;
(2)說明方案設(shè)計(jì)理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F
(1)如圖①,求證:AE=AF;
(2)如圖②,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<144°)得到△AE′F′.連接CE′BF′.
①若BF′=6,求CE′的長;
②若∠EBC=∠BAC=36°,在圖②的旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)CE′∥AB時(shí),直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新能源汽車環(huán)保節(jié)能,越來越受到消費(fèi)者的喜愛.各種品牌相繼投放市場.一汽貿(mào)公司經(jīng)銷某品牌新能源汽車.去年銷售總額為5000萬元,今年1~5月份,每輛車的銷售價(jià)格比去年降低1萬元.銷售數(shù)量與去年一整年的相同.銷售總額比去年一整年的少20%,今年1~5月份每輛車的銷售價(jià)格是多少萬元?設(shè)今年1~5月份每輛車的銷售價(jià)格為x萬元.根據(jù)題意,列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為更好地踐行社會主義核心價(jià)值觀,讓同學(xué)們珍惜糧食,學(xué)會感恩,校學(xué)生會積極倡導(dǎo)“光盤小行動”,某天午餐后學(xué)生會干部隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)就餐飯菜的剩余情況,并將結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有 名;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)計(jì)算在扇形統(tǒng)計(jì)圖中剩大量飯菜所對應(yīng)扇形圓心的度數(shù);
(4)校學(xué)生會通過數(shù)據(jù)分析,估計(jì)這次被調(diào)查的所有學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可以供50人用一餐,據(jù)此估算,全校名學(xué)生一餐浪費(fèi)的食物可供多少人食用一餐?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海中有一燈塔C,它的周圍12海里有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行在A處測得燈塔C在北偏東60°,航行20海里后到達(dá)B點(diǎn),這時(shí)測得燈塔C在北偏東30°,如果漁船不改變航向,繼續(xù)向東航行,有沒有觸礁的危險(xiǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】貴州省是我國首個(gè)大數(shù)據(jù)綜合試驗(yàn)區(qū),大數(shù)據(jù)在推動經(jīng)濟(jì)發(fā)展、改善公共服務(wù)等方面日益顯示出巨大的價(jià)值,為創(chuàng)建大數(shù)據(jù)應(yīng)用示范城市,我市某機(jī)構(gòu)針對市民最關(guān)心的四類生活信息進(jìn)行了民意調(diào)查(被調(diào)查者每人限選一項(xiàng)),下面是部分四類生活信息關(guān)注度統(tǒng)計(jì)圖表,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)本次參與調(diào)查的人數(shù)有 人;
(2)關(guān)注城市醫(yī)療信息的有 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D部分的圓心角是 度;
(4)說一條你從統(tǒng)計(jì)圖中獲取的信息.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一架梯子的長度為25米,斜靠在墻上,梯子低部離墻底端為7米.
(1)這個(gè)梯子頂端離地面有 米;
(2)如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向滑動了幾米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有規(guī)律排列的一列數(shù):2,4,6,8,10,12,…,它的每一項(xiàng)可用式子2n(n是正整數(shù))來表示.那么有規(guī)律排列的一列數(shù):-1,2,-4,7,-11,16,-22,29,….
(1)它的第10個(gè)數(shù)是多少?
(2)你認(rèn)為它的第n項(xiàng)可用怎樣的式子來表示?
(3)2018是不是這列數(shù)中的數(shù)?如果是,是第幾個(gè)數(shù)?如果不是,請說明理由.
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