Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=EF=EP，

∴四邊形BFEP為菱形

（2）

解：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，

∴CE=BC=5cm，

在Rt△CDE中，DE= =4cm，

∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；

在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，

∴EP2=12+（3﹣EP）2，

解得：EP= cm，

∴菱形BFEP的邊長(zhǎng)為 cm；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2：

點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3所示：

點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，

∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對(duì)稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP= cm即可；②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE=1cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．