Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，DC=8，現(xiàn)將四邊形BEGC沿折痕EG(G，E分別在DC，AB邊上)折疊，其頂點(diǎn)B，C分別落在邊AD上和邊DC的上部，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)設(shè)為F，N點(diǎn)，且FN交DC于M．

特例體驗(yàn)：

(1)當(dāng)FD=AF時(shí)，△FDM的周長(zhǎng)是多少?

類比探究：

(2)當(dāng)FD≠AF≠0時(shí)，△FDM的周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化嗎?請(qǐng)證明你的猜想．

拓展延伸：

(3)同樣在FD≠AF≠0的條件下，設(shè)AF為x，被折起部分(即：四邊形FEGN)的面積為S，試用含x的代數(shù)式表示S，并問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，S=26?

Answer 1

【答案】（1）16；（2）不變，證明見解析；（3）當(dāng)x=2或6時(shí)，四邊形FEGN的面積為26．

【解析】

（1）如圖1中，在△AEF中，設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，理由勾股定理構(gòu)建方程求出x，再根據(jù)△AEF∽△DFM，可得，由此即可解決問(wèn)題；

（2）△FDM的周長(zhǎng)與（1）中結(jié)論相同．證明方法與（1）類似；

（3）作GK⊥AB于K．連接BF交GE于P．由△AFB≌△KEG，可得FB=GE，由（2）可知：AE=，設(shè)AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，根據(jù)S=，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問(wèn)題；

解：（1）在△AEF中，設(shè)AE=x，則EF=8-x，AF=4，∠A=90°，

由勾股定理，得：42﹢x2=(8-x)2，

∴x=3，

∴AE=3，EF=5．

∴△AEF的周長(zhǎng)為12，

如圖，

∵∠MFE=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°

又∵∠A=∠D=90，∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴==，

∴△FDM的周長(zhǎng)為16；

（2）△FDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化；

理由：如下圖，

設(shè)AF=x，EF=8-AE，x2+AE2=（8-AE）2，

∴AE=，

∵△AEF∽△DFM，

∴，

∴△FMD的周長(zhǎng)：．

（3）如圖，作GK⊥AB于K．連接BF交GE于P．

∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱，

∴BF⊥EG，

∴∠FBE=∠KGE，

在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，

∴△AFB≌△KEG，

∴FB=GE，

由（2）可知：AE=，

∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=，

∴梯形AEGD的面積為：，

∴，

當(dāng)S=26時(shí)，有

，

解得：x=2或x=6，

∴當(dāng)x=2或6時(shí)，四邊形FEGN的面積為26．