Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四邊形EFPQ是矩形，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合）．

（1）當(dāng)AE＝8時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AE＝x，矩形EFPQ的面積為y．

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，將矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB勻速向右運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6時(shí)，y有最大值為9；（3）S=

【解析】

(1)由EF∥BC,可得,由此即可解決問(wèn)題;

(2)①先根據(jù)點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)得出自變量x的取值范圍,根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求出EF和AF的長(zhǎng),在在Rt△ACB中,根據(jù)三角函數(shù)求出AC的長(zhǎng),計(jì)算FC的長(zhǎng),利用矩形的面積公式可求得S的函數(shù)關(guān)系式;

②把二次函數(shù)的關(guān)系式配方可以得結(jié)論;

(3)分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.

解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∴BC=AB=6，AC=BC=6，

∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴=，

∴=，

∴EF=4．

（2）①∵AB=12，AE=x，點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合，

∴0＜x＜12，

∵四邊形CDEF是矩形，

∴EF∥BC，∠CFE=90°，

∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

∴EF=x，

AF=cos30°AE=x，

在Rt△ACB中，AB=12，

∴cos30°=，

∴AC=12×=6，

∴FC=AC﹣AF=6﹣x，

∴y=FCEF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）；

②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，

當(dāng)x=6時(shí)，S有最大值為9；

（3）①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，如圖1中，重疊部分是五邊形MFPQN，

S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．

②當(dāng)3≤t≤6時(shí)，重疊部分是△PBN，

S=（6﹣t）2，

綜上所述，S=