Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=，E是對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，H是CD的中點(diǎn)，連接GH，則GH的最小值為____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由∠ADC=∠EDG=90°，推出∠ADE=∠CDG，連接GC，容易證明△DAE≌△DCG，推出AE=CG，當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于AD的延長(zhǎng)線(xiàn)G1處，進(jìn)而推出G點(diǎn)在CG1這條線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短知，過(guò)H向CG1作垂線(xiàn)，得到GH的最小值.

解：連接CG，如下圖所示：

∵∠ADC=∠EDG=90°

∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC

∴∠ADE=∠CDG

在△ADE和△CDG中

，∴△ADE和△CDG(SAS)

∴AE=CG

當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于G1處

當(dāng)E但位于A點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于C處，

故E點(diǎn)在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，G點(diǎn)在CG1上運(yùn)動(dòng)

故由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短可知：

過(guò)H點(diǎn)作HG0⊥CG時(shí)，此時(shí)HG0最小

又H是CD的中點(diǎn)，∴CH=CD=

又∠DCG=45°，

∴HG0=CH=.

故答案為：