Question

如圖2－131所示，已知拋物線P：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F，G分別在線段BC，AC上，拋物線P上的部分點的橫坐標對應的縱坐標如下.

x	…	－3	－2	1	2	…
y	…	－	－4	－	0	…

    (1)求A，B，C三點的坐標；

    (2)若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并

    指出m的取值范圍；

    (3)當矩形DEFG的面積S最大時，連接DF并延長至點M，使FM＝k·DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍；

(4)若點D的坐標為(1，0)，求矩形DEFG的面積．

Answer 1

解法l：(1)任取x，y的三組值代入y=ax²＋bx＋c(a≠0)，求出解析式為y＝x²＋x－4．令y＝0，得x₁＝－4，x₂＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三點的坐標分別為A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．

解法2：(1)由拋物線P過點(1，－)，(－3，－)可知，拋物線P的對稱軸為x＝－1．又∵拋物線P過(2，0)，(－2，－4)，則由拋物線的對稱性可知，點A，B，C的坐標分別為A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．  (2)由題意，知，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S_矩形DEFG＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m²(0＜m＜2)．  (3)∵S_矩形DEFG=12m－6m²(0＜m＜2)，∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，－2)，F(xiàn)(－2，－2)，E(－2，0)．設直線DF的解析式為y＝kx＋b，易知k＝，b＝－.∴y=x－.又拋物線P的解析式為y＝x²＋x－4．令x－=x²＋x－4，解得x＝.如圖2－132所示，設射線DF與拋物線P相交于點N，則N點的橫坐標為．過N作x軸的垂線交x軸于H，得.∵點M不在拋物線P上，即點M不與N重合，此時k的取值范圍是k≠且k＞0．  (4)由(3)知S_矩形DEFG＝6．