【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于直線x=對稱,且經(jīng)過A. C兩點,與x軸交于另一點為B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,過點P作PQ⊥x軸于M,交AC于Q,求PQ的⊥最大值,并求此時△APC的面積;
(3)在拋物線的對稱軸上找出使△ADC為直角三角形的點D,直接寫出點D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+x+2;(2)4;(3)D點的坐標(biāo)為(,5),(,5),(,1+),(,1-).
【解析】分析:(1)由直線過點A,可得出點A的坐標(biāo),由A、B關(guān)于直線x=對稱可找出B點的坐標(biāo).由直線經(jīng)過點C可求出點C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)直線AC的解析式為y=-x+2,即x+y-2=0,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,-m+2);則P點坐標(biāo)為(m,-m2+m+2),由此得到PQ=-(m-2)2+2,由二次函數(shù)最值的求法得到:點P(2,3),由分割法求得:S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC;
(3)假設(shè)存在,設(shè)出D點坐標(biāo),△ADC為直角三角形分三種情況:
①當(dāng)點C為直角頂點時:作DM⊥y軸于M由△CD1M∽△ACO可得:CM=3,所以OM=5,即D1(,5);
②同理當(dāng)點A為直角頂點時可求D2(,-5);
③當(dāng)點D為直角頂點時:過D3作MN⊥y軸.由△CD3M∽△D3NA可得:n2-2n=.易得D3(,1+),D4(,1-).
詳解:(1)令y=x+2=0,解得:x=4,
即點A的坐標(biāo)為(4,0).
∵A、B關(guān)于直線x=對稱, ∴點B的坐標(biāo)為(1,0).
令x=0,則y=2,
∴點C的坐標(biāo)為(0,2),
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、 B、C,
∴有解得: a=,b=,c=2.
故拋物線解析式為y=x2+x+2
(2)直線AC的解析式為y=-x+2,即x+y2=0,
設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,-m+2) ;則P點坐標(biāo)為(m, m2+m+2),
∴PQ=(m2+m+2)-(-m+2)
=m2+2m=-(m-2)2+2
∴當(dāng)m=2時,PQ最大=2
此時點P(2,3)S△PAC=S梯形OCPM+S△PMA-S△AOC=5+3-4=4
(3)假設(shè)存在,設(shè)D點的坐標(biāo)為(,5),(,5),(,1+),(,1-).
解法如下:設(shè)D點的坐標(biāo)(,m)
△ADC為直角三角形分三種情況:
①當(dāng)點C為直角頂點時:作DM⊥y軸于M
由△CD1M∽△ACO可得:
∴,CM=3 ∴OM=5即D1(,5)
②同理當(dāng)點A為直角頂點時可求D2(,5)
③當(dāng)點D為直角頂點時:
過D3作MN⊥y軸
由△CD3M∽△D3NA可得:
∴,可得:n2-2n=
解得:n=1±
D3(,1+),D4(,1-)
故D點的坐標(biāo)為(,5),(,5),(,1+),(,1-).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】露露家里新購進了一臺電熱水器,她對電熱水器的工作原理充滿好奇.查閱說明書得知,電熱水器上面顯示的溫度為內(nèi)部水箱中水的溫度,每次加熱前可以預(yù)設(shè)溫度值,當(dāng)電熱水器達(dá)到預(yù)設(shè)溫度后,電熱水器將停止加熱,開啟保溫功能.而在使用過程中,電熱水器會自動加水,水溫會下降.
露露發(fā)現(xiàn)電熱水器中水箱的溫度y(單位:℃)與接通電源后的時間x(單位:min)之間存在函數(shù)關(guān)系,她打開電熱水器的開關(guān),預(yù)設(shè)溫度為70℃,并記錄水溫變化的情況見下表,其中在接通電源后的第8min時,電熱水器達(dá)到預(yù)設(shè)溫度;第18min時,媽媽開始使用電熱水器.
時間x(單位:min) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 18 | 20 | 21 | 25 | 28 |
溫度y(單位:℃) | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 70 | 63 | m | 50.4 | 45 |
(1)m的值為_________;
(2)請在下面的坐標(biāo)系中描出上表中所有數(shù)據(jù)對應(yīng)的點,并根據(jù)描出的點,畫出當(dāng)時,溫度y隨時間x變化的函數(shù)圖象;
(3)在露露的媽媽使用電熱水器前,電熱水器處于保溫功能的時長為__________min;
(4)未加熱前,電熱水器的水箱中水的溫度為_________℃.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是( )
A.單項式 的系數(shù)是-2,次數(shù)是3B.單項式a的系數(shù)是0,次數(shù)是0
C.是三次三項式,常數(shù)項是1D.單項式的次數(shù)是2,系數(shù)為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系
(1)如圖a,若AB∥CD,點P在AB、CD外部,則有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B﹣∠D.將點P移到AB、CD內(nèi)部,如圖b,以上結(jié)論是否成立?若成立,說明理由;若不成立,則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論;
(2)在圖b中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q,如圖c,則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明)
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).
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【題目】已知數(shù)軸上點A、B分別表示的數(shù)是、,記A、B兩點間的距離為AB
(1) 若a=6,b=4,則AB= ;若a=-6,b=4,則AB= ;
(2) 若A、B兩點間的距離記為,試問和、有何數(shù)量關(guān)系?
(3)寫出所有符合條件的整數(shù)點P,使它到5和-5的距離之和為10,并求所有這些整數(shù)的和.
(4)|x-1|+|x+2|取得的值最小為 ,|x-1|-|x+2|取得最大值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的長為12米,坡角α為60°,根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定,∠α≤39°時,才能避免滑坡危險,學(xué)校為了消除安全隱患,決定對斜坡CD進行改造,在保持坡腳C不動的情況下,學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學(xué)樓的安全?(結(jié)果取整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線的表達(dá)式為,直線與x軸交于點D,直線:與x軸交于點A,且經(jīng)過點B,直線、交于點.
(1)求m的值;
(2)求直線的表達(dá)式;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】供電局的電力維修工要到30千米遠(yuǎn)的郊區(qū)進行電力搶修.技術(shù)工人騎摩托車先走,15分鐘后,搶修車裝載著所需材料出發(fā),結(jié)果他們同時到達(dá).已知搶修車的速度是摩托車的1.5倍,求這兩種車的速度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,一螞蟻從A點出發(fā),沿著A→B→C→D→A…循環(huán)爬行,其中A點的坐標(biāo)為(2,﹣2),B點的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2),C點的坐標(biāo)為(﹣2,6),D點的坐標(biāo)為(2,6),當(dāng)螞蟻爬了2018個單位時,螞蟻所處位置的坐標(biāo)為( )
A. (﹣2,0)B. (4,﹣2)C. (﹣2,4)D. (0,﹣2)
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