【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(5,0),(0,2).若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng),連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使CE=PC,將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF,連接FB.若點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中,使△PBF成為直角三角形,則點(diǎn)F的坐標(biāo)是________.
【答案】(5,2),(,)
【解析】
試題當(dāng)P位于線段OA上時(shí),顯然△PFB不可能是直角三角形;由于∠BPF<∠CPF=90°,所以P不可能是直角頂點(diǎn),可分兩種情況進(jìn)行討論:
①F為直角頂點(diǎn),過(guò)F作FD⊥x軸于D,BP=6﹣t,DP=2OC=4,在Rt△OCP中,OP=t﹣1,由勾股定理易求得CP=t2﹣2t+5,那么PF2=(2CP)2=4(t2﹣2t+5);在Rt△PFB中,FD⊥PB,由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5,而PB的另一個(gè)表達(dá)式為:PB=6﹣t,聯(lián)立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t,即t=;
②B為直角頂點(diǎn),那么此時(shí)的情況與(2)題類似,△PFB∽△CPO,且相似比為2,那么BP=2OC=4,即OP=OB﹣BP=1,此時(shí)t=2.
解:能;
①若F為直角頂點(diǎn),過(guò)F作FD⊥x軸于D,則BP=6﹣t,DP=2OC=4,
在Rt△OCP中,OP=t﹣1,
由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5,那
么PF2=(2CP)2=4(t2﹣2t+5);
在Rt△PFB中,FD⊥PB,
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5,
而PB的另一個(gè)表達(dá)式為:PB=6﹣t,
聯(lián)立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t,即t=,
P點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
則F點(diǎn)坐標(biāo)為:(,);
②B為直角頂點(diǎn),那么此時(shí)的情況與(2)題類似,△PFB∽△CPO,且相似比為2,
那么BP=2OC=4,即OP=OB﹣BP=1,此時(shí)t=2,
P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).FD=2(t﹣1)=2,
則F點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2).
故答案是:(5,2),(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)在某次考試中,現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué),共四科測(cè)試實(shí)際成績(jī)?nèi)缦卤恚海▎挝唬悍郑?/span>
語(yǔ)文 | 數(shù)學(xué) | 英語(yǔ) | 科學(xué) | |
甲 | 95 | 95 | 80 | 150 |
乙 | 105 | 90 | 90 | 139 |
丙 | 100 | 100 | 85 | 139 |
若欲從中表?yè)P(yáng)2人,請(qǐng)你從平均數(shù)的角度分析,那兩人將被表?yè)P(yáng)?
(2)為了提現(xiàn)科學(xué)差異,參與測(cè)試的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、科學(xué)實(shí)際成績(jī)須以2:3:2:3的比例計(jì)入折合平均數(shù),請(qǐng)你從折合平均數(shù)的角度分析,哪兩人將被表?yè)P(yáng)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AD既是△ABC的中線,又是角平分線,請(qǐng)判斷:
(1)△ABC的形狀;
(2)AD是否過(guò)△ABC外接圓的圓心O,⊙O是否是△ABC的外接圓,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積有最大值?
(3)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過(guò)點(diǎn)P做PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)連接PO,PC,并將△POC沿y軸對(duì)折,得到四邊形.是否存在點(diǎn)P,使四邊形為菱形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的圖象交x軸于A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,拋物線對(duì)稱軸為x=﹣,下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的結(jié)論是( 。
A. abc>0
B. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2,x2=1
C. b2﹣4ac>0
D. a=b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】寧波某公司經(jīng)銷一種綠茶,每千克成本為元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在一段時(shí)間內(nèi),銷售量(千克)隨銷售單價(jià)(元/千克)的變化而變化,具體關(guān)系式為:.設(shè)這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤(rùn)為(元),解答下列問(wèn)題:
(1)求與的關(guān)系式;
(2)當(dāng)銷售單價(jià)取何值時(shí),銷售利潤(rùn)的值最大,最大值為多少?
(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價(jià)不得高于元/千克,公司想要在這段時(shí)間內(nèi)獲得元的銷售利潤(rùn),銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+12+m=0.
(1)若方程的一個(gè)根是,求m的值及方程的另一根;
(2)若方程的兩根恰為等腰三角形的兩腰,而這個(gè)三角形的底邊為m,求m的值及這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,D是AC上一點(diǎn),BE∥AC,BE=AD,AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G,且∠1=∠2.
(1)填空:圖中與△BEF全等的三角形是______,與△BEF相似的三角形是_____(不再添加任何輔助線);
(2)對(duì)(1)中的兩個(gè)結(jié)論選擇其中一個(gè)給予證明.
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